背理法

質問

たとえば
「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」
という問題があったとして
背理法ではx=√2を満たす整数が奇数であると仮定して、成り立たない示しますよね?
すると証明できてしまいますが、もちろんxは整数ではありません。

参考書などの解答例を見ますと、こういう危険性を考慮してないような気がしてなりません。

30年近い疑問です。

回答No.15

22pn52doc

背理法についてあれこれ調べていたら、この質問にたどり着きました。
まさにこの領域を勉強している者として、考えを述べさせてください。
※数学は高校までしかやってません。
　記述に間違いがあればご指摘いただけると大変助かります。
※文章が下手くそなので、冗長になってしいまったかもしれません。
　ご容赦くださいm(_ _)m

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「現代数学小辞典」（講談社 2012年2月1日 第40刷発行） に、次の記述があります。
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（P17のL13から）
次に含意記号→（⇒と同じ）を含む命題を考えよう。
　ｐ：「キティは黒い仔猫である」
　ｑ：「４の２倍は９である」
　p → q：「キティが黒い仔猫ならば、４の２倍は９である」
　一般に、「…ならば」という言い方は因果関係を示すときに用いられるので、読者はこのような陳述を奇異に感じるかも知れない。
　実は数学では p → q という命題は p が真で q が偽であるときのみ偽となる命題とわりきって考える。言い換えれば p が偽であるか、または q が真の時には真となる命題で、結局￢p∨qという命題と同じことを言っているのである。p → q は「pならばqである」と読むが、日常的な意識と違って p と q との間に特に因果関係を考慮しない。
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この記述を、記号的に解釈すれば、

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（数学上の論理においては）
「命題A: p → q」の真偽は次の通り評価する。
(1)「p∧￢q」の場合のみ、命題Aは偽である。
(2)「p∧q」、「￢p∧q」、「￢p∧￢q」のいずれかのとき、命題Aは真である。
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ここで注目すべきは、(2)の後ろ２つ（「￢p∧q」と「￢p∧￢q」）で、
この２つは、命題の前提(p)が崩れれば、命題の結論(q)の真偽は命題の真偽に影響しない、という主張ではないでしょうか？
つまり、論理の構造上、p や q にどんな事象が入れこまれても、「p → q」で表される命題は評価が可能である、と。
であれば、p や q どんな内容であっても、問題としては成立するのではないでしょうか？

あらためて質問者様の例題を捉えてみれば、

問題：「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」
は、
ｐ：「(xは)x=√2を満たす整数（である）」
ｑ：「(xは)偶数である」
として、「p → q を証明せよ」と見做すことができ、
先の「記号的に解釈すれば」に
「p∧q」であることを、数学の領域において理論として定義されている論理の構造に従って示してください、ということなのではないでしょうか？

実際、この問題に背理法で挑めば、「p∧￢q」が成り立たないという結論に辿り着き、
「p∧￢q」が成り立つ場合のみ命題Aは偽であるのだから、
これが成り立たない命題Aは「p∧q」、「￢p∧q」、「￢p∧￢q」のいずれかであり、
ゆえに命題Aは真である、と示せます。
また、どなたかが仰っていましたが、
上の解釈(1)に従えば、「￢p」を示せば、それだけで命題Aは真だ、という方法も正しいと思います。

このように、「p → q」というスタイルの命題は、p や q の内容を問わず、
数学上の論理の構造を用いて正しく真偽を判定できるのですから、
問題として成り立つと思います。

そして、ここからが質問者様の質問の核心だと思われますが、

この手の問題の対応方法については、
たいてい高校数学の数学A「論理と集合」で扱われ、
殆どの学生はここで初めて論理学の記号や理論等を学ぶと思います。
この単元の目的は、
・「論理」とはどういうものか？
・数学という学問上定義されている論理の構造はどのようなものか？
・数学の論理の構造上成り立つ「命題の評価方法」にはどのようなものがあるか？
であり、そしてさまざまな問題を通して、
・数学という学問上の定義を用いて（相互に矛盾なく）表現されたいかなる事象も、同じく数学上の論理の構造を用いてそれをとらえれば、自己矛盾を排除してそれらを取り扱うことができる。
という事を学習すること、だと思います（そう思って学習しております^^）。

「参考書などの解答例を見ますと…」とありますが、
例題が例えば、「論理と集合」の単元にて紹介されているのであれば、
先に挙げた「記号的に解釈」のように命題の真偽を評価する方法がある、
そしてその効果的な方法として「背理法」がある、ということを実感するための
問題として、その存在は許されると思います。

ただ、

これを背理法を用いてただ証明して見せただけでは、
先に引用した「現代数学小辞典」の内容を理解することは難しいと思います。
せめて、
・「背理法」という手法は、上記(1)を判定することで命題を評価するための方法論で、
・命題の前提部分の矛盾から同(2)を用いて命題を評価する方法もある
などといった解説をすることが、その単元の目的を担う側の姿勢としてあるべき姿だと思いますし、

学ぶ立場としても、そういう解説をしてほしいです。