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背理法
Caperの回答
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● ご質問の文章を私が読んで思ったことを、まず正直に申し上げます。 sak_sak さん は、変数x の解釈をまちがえているのではないでしょうか … 。 変数とは、変域と呼ばれる集合に含まれる 1つ の要素のことです。ご質問の文章の中で取り上げられている証明問題においては、整数全体の集合を変域と考えるのがよいのではないかと、私は思います。整数全体の集合を変域と考えるとき、変数x が取りうる値は、もちろん整数ということになり、x が整数以外の値をとるということはないと、私は認識しています。 ですから、sak_sak さん の「 もちろん x は整数ではありません 」という記述に、私は違和感を覚えてしまいます。 ● sak_sak さん は、ご質問の文章の中で、次の 1) を記述なさいました。 1) x = √2 を満たす整数は偶数である。 この 1) は、次の 2) に改めたほうがよいと、私は思います。x という 1文字 を付け加えただけです。 2) x = √2 を満たす 整数x は偶数である。 この 2) という命題は、次の 3) という厳密な表現をつづめたものであると、私は思います。なお、→ は「 ならば 」を意味する記号です。 3) 変数x の変域を整数全体の集合であるとした上で、すべての x について ((x = √2)→(x は偶数である))。 この 2) もしくは 3) という命題は真であると、私は思います。真であることについては、ANo.6 で alice_44 さん がすでにおっしゃっています ( ただし、変域のとりかたが異なります。それについては、のちほど )。 ● ところで、ここで変域となる整数全体の集合を、{ … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } と表記してもさほど支障はないと思われますので、この表記を採用することにします。この表記の採用により、上記の 2) もしくは 3) は次の 4) のとおりに表記することができると思われます。なお、∧ は「 かつ 」を意味する記号です。 4) … ∧((- 3 = √2)→(- 3 は偶数である))∧((- 2 = √2)→(- 2 は偶数である))∧((- 1 = √2)→(- 1 は偶数である))∧((0 = √2)→(0 は偶数である))∧((1 = √2)→(1 は偶数である))∧((2 = √2)→(2 は偶数である))∧((3 = √2)→(3 は偶数である))∧ … この 4) の中に含まれる … , (- 3 = √2), (- 2 = √2), (- 1 = √2), (0 = √2), (1 = √2), (2 = √2), (3 = √2), … はいずれも偽となる命題であることに注意してください。 ● sak_sak さん は、ご質問の文章の中で、次のとおりに記述なさいました。 背理法では x = √2 を満たす整数が奇数であると仮定して、… 私はそうではないと思います。背理法による証明の場合、仮定する命題は次の 5) もしくは 6) であると、私は思います。 5) x = √2 であり x は奇数であるということを満たす 整数x が存在する。 6) 変数x の変域を整数全体の集合であるとした上で、ある x について ((x = √2)∧(x は奇数である))。 ● 冒頭において、私は次のとおりに記述しました。「 整数全体の集合を変域と考えるのがよいのではないか 」 一方、ANo.6 において、alice_44 さん が提示なさいました考えかたでは、変数x の変域に際限を設けていません。つまり、変数x が何でもありになっています。高校の数学では、なじみがない考えかたかもしれません。ですが、正しい考えかたであると、私は思います。 ● もっともらしく私は記述してまいりました。以上の私の記述にまちがいがある場合は、ひらにごめんなさい。
noname#221368
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