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背理法
noname#221368の回答
実際にこういう問題が、大学の入試問題とか、受験参考書に模範解答として掲載されたのかと思い、一瞬ぎょっとしましたが、そうではないのですよね？。「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」は、意図を明確にするための例題と受け取りました。 少し命題理論の話をさせて下さい（ご存知かも知れませんが）。標準的な数学は、命題理論に全面的に依拠しているからです。 ある関係Ａ⇒Ｂを証明したい時に、結論Ｂの否定～Ｂを仮定し、Ａの否定～Ａを導けたなら、～Ｂ⇒～Ａなので対偶をとり、Ａ⇒Ｂは成り立つ、というのが背理法の処方箋です。ここでＡは「x=√2を満たす数」、Ｂは「xは整数でかつ偶数」です。 命題理論では、～ＡとＡが同時に成り立つ場合、どんな命題も証明可能になります。このような理論は、矛盾した理論と言われ、～ＢもＢも同時に成り立つ事になります。じつはこれが対偶関係式の証明手順であり、背理法の本質です。 なので、Ｂの否定～Ｂが最初から矛盾したものであれば、Ａも当然成り立つ訳で、「x=√2を満たす整数は偶数である」は証明できます。～Ｂとして「xは整数かつ偶数でない」＝「xは奇数」とすれば、あなたの言う通りです。「xは奇数」は、最初から「偽」だからです。論理的手続きに問題はありません。この辺りが、#1～#5さんらの言いたかった事だと思います。 ですがこれは、背理法のふつうの使い方ではありません。～Ｂとして「xは整数でないか、整数で奇数である」が、～Ｂの正しい与え方と思えます。この場合は、いくら頑張っても矛盾（～Ａ）は導けないと思います。そして、いくら頑張ったところで、それで～Ａが証明できたという事にはなりません。この辺りが、#6さんの趣旨だと思います。 ＞参考書などの解答例を見ますと、こういう危険性を考慮してないような気がしてなりません。 冒頭で申し上げたように、最初はぎょっとしました。もしそういう事があれば、ある意味「解なし問題」を出題したのと同じだと思います。「解なし問題」は、出題者の良心として、今でも出されていないと思います。そのような状況を鑑みて、参考書も書かれているのではないでしょうか？。
- noname#221368
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