E2=m2c4+p2c2

質問

E^2=m0^2*c^4+p^2*c^2
はどのように導出するのでしょうか？

教科書(南山堂；放射線物理)には
m=m0/sqrt(1-(v/c)^2)
E=mc^2
p=mv
を「組み合わせる」とあるのですが...

途中経過もご教示いただければ幸いです。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

3つの式からm,vを消去すればよいでしょう。

一つ目の式の両辺を2乗すると
m^2=m0^2/(1-(v/c)^2)
1-(v/c)^2=(m0/m)^2
(v/c)^2=1-(m0/m)^2 (1)

二つ目の式を変形して
m=E/c^2 (2)

三つ目の式の両辺を2乗する。
p^2=m^2*v^2
両辺をc^2で割る。
p^2/c^2=m^2*(v/c)^2
この式に(1)を代入する
p^2/c^2=m^2*(1-(m0/m)^2)=m^2-m0^2
この式に(2)を代入して(以下略)

このあとの変形はご自分でやれるでしょう。

何を消去する必要があるのか、それを考えて変形していくとよいでしょう。

お礼

非常にわかりやすかったです。
特に「両辺をc^2で割る。」のところ...

ありがとうございました！！

回答No.3

noname#224896

訂正です．
p^2/m^2を両辺に掛ける．
⇒c^2/m^2を両辺に掛ける．

====================================================
E^2=(m^2)*(c^4)
m^2 = m0^2/{1-(v/c)^2}　．．．(1)
v^2 = p^2 / m^2　．．．(2)
----------------------------------------------------
E^2 = {m0^2/{1-(p^2 / m^2/c)^2}*(c^4)
----------------------------------------------------
(1)の両辺を２乗し，(2)を代入すると，
m^2 = m0^2/{ 1 - (v/c)^2 }
m^2 = m0^2c^2/(c^2 - v^2)
m^2(c^2 - v^2) = m0^2c^2
m^4(m^2c^2 - p^2) = m0^2c^2m^2
m^4(m^2c^2 - p^2) = m0^2c^2m^2
m^4c^2 -m^2p^2 = m0^2c^2m^2
m^2c^2 -p^2 = m0^2c^2
両辺にc^2を掛けると，
m^2*c^4 -p^2*c^2 = m0^2c^4
E^2=m^2c^4より，
E^2　＝　m0^2c^4　＋p^2*c^2　　．．．（証明終）
====================================================
計算ミスしてました．以上です．

回答No.1

noname#224896

E^2=(m^2)*(c^4)
m^2 = m0^2/{1-(v/c)^2}　．．．(1)
v^2 = p^2 / m^2　．．．(2)
----------------------------------------------------
E^2 = {m0^2/{1-(p^2 / m^2/c)^2}*(c^4)
----------------------------------------------------
(1)の両辺を２乗し，(2)を代入すると，

m^2 = m0^2*c^2/{c^2-(p^2/m^2)}

m^2= m0^2*c^2*m^2/{m^2c^2-p^2}

m^4c^2-p^2m^2 = m0^2c^2m^2

p^2/m^2を両辺に掛ける．

m^2c^4 - p^2c^4 = m0^2c^4

E^2=m^2c^4より，

E^2＝m0^2*c^4 + p^2*c^4　．．．（証明終）
====================================================
以上です．

お礼

早速の回答有り難うございました！！