光速度に近い速度で飛ぶ電子について

質問

こんにちは、

一定方向に、ある速度で進む電子について、
（１）存在確率の計算は、下記でよいでしょうか？（ＤＩＲＡＣ方程式で計算しました）
（２）これらの解は、実験によって確かめられているのでしょうか？（例えば、停止状態でスピン上向きの電子を飛ばした場合、速度が上がるに従い、下向きの電子が相対論的な効果によって現れる。と思うのですが、如何でしょうか？）

計算結果
条件
光速度（固定）c = 1
速度　　　0.1～0.9*Ｃ 　　0.1*Ｃづつ変化させる
質量 m = m*γ　　　　速度に合わせて変化
但し　γ = 1/Sqrt[1 - (v/c)^2]
運動量　　p = m*v　　　

結果
存在確率の一例は、
0, -((c*m + Sqrt[c^2*m^2 + p^2])/p), 0, 1

なので、c=1,p= 0.1 ,h=1,m= 1.01 ,v= 0.1 *c の場合

c=1,p= 0.1 ,h=1,m= 1.01 ,v= 0.1 *c の場合
存在比
{0.,1.,0.,0.}
c=1,p= 0.2 ,h=1,m= 1.02 ,v= 0.2 *c の場合
存在比
{0.,0.99,0.,0.01}
c=1,p= 0.31 ,h=1,m= 1.05 ,v= 0.3 *c の場合
存在比
{0.,0.98,0.,0.02}
c=1,p= 0.44 ,h=1,m= 1.09 ,v= 0.4 *c の場合
存在比
{0.,0.96,0.,0.04}
c=1,p= 0.58 ,h=1,m= 1.15 ,v= 0.5 *c の場合
存在比
{0.,0.95,0.,0.05}
c=1,p= 0.75 ,h=1,m= 1.25 ,v= 0.6 *c の場合
存在比
{0.,0.93,0.,0.07}
c=1,p= 0.98 ,h=1,m= 1.4 ,v= 0.7 *c の場合
存在比
{0.,0.91,0.,0.09}
c=1,p= 1.33 ,h=1,m= 1.67 ,v= 0.8 *c の場合
存在比
{0.,0.89,0.,0.11}
c=1,p= 2.06 ,h=1,m= 2.29 ,v= 0.9 *c の場合
存在比
{0.,0.87,0.,0.13}

回答No.2

grothendieck

運動量pi,ヘリシティsiの電子がクーロンポテンシャル
-Ze/r によって運動量pf,ヘリシティsfのの状態に散乱される断面積は
　dσ/dΩ=(4z^2α^2m^2/｜q｜^4) ｜u†(pf,sf)u(pi,si)｜^2
で与えられます。(例えばGreiner，Reinhardt: Quantum Electrodynamics 2nd ed. p.82)　ヘリシティとｚ軸のなう角をθ、φとすると非相対論的極限で
　u(p,+1)=(exp(-iφ/2)cos(θ/2), exp(iφ/2)sin(θ/2), 0,0)
　u(p,-1)=(-exp(-iφ/2)sin(θ/2), exp(iφ/2)cos(θ/2), 0,0)
となります（例えばランダウ＝リフシッツ相対論的量子力学）。これよりヘリシティが＋1、-1の粒子数をそれぞれn(+), n(-)として偏極度Ｐを
　Ｐ = (n(+)-n(-))/(n(+)+n(-))
で定義すると入射ビームの偏極度が１のとき、非相対論的極限で散乱粒子の偏極度はcosθとなります。スピノールの下２成分を取り入れて計算すると
　Ｐ = 1-(2sin^2(θ/2)/((E/m)^2cos^2(θ/2)+sin^2(θ/2))
となります(Greiner p.151)。これから、粒子のエネルギーが大きくなる時、スピノールの下２成分の影響が次第に大きくなって散乱粒子の偏極度が１に近づくことが分かります。したがって偏極度を測れば粒子が光速に近づくにつれスピノールの下２成分が大きくなることを間接的に知ることができます。

お礼

お返事ありがとうございました。

結局、よくわかりませんでした。どうしようか？

考えてみます。

補足

お返事ありがとうございます。

まず、私は、初等量子力学の教科書に記載された

相対論的量子力学の項目を見て、計算をして質問させて

頂きました。そこには、当然、ヘリシティという言葉も

ございませんし、ご回答頂きました難解な言葉も出て

きません。非常に、恐縮ですが、ヘリシティにつきまして

ご教示頂きましたら幸いです。もちろん、ＨＰ等で調査

しましたが、よく理解できませんでした。よろしくお願

い致します。

ＰＳ

お返事が遅れましたことをお詫び致します。

回答No.1

grothendieck

まず、
　0, -((c*m + Sqrt[c^2*m^2 + p^2])/p), 0, 1
は正確には存在確率というべきではないと思います。これは自由なディラック方程式の平面波解でへりシティが-1のスピノールが(c=1の単位系で)
　{0, 1, 0, p/(m + √[m^2 + p^2]) }　
となることに対応していると思われます。しかし、確率密度は、ρ=Ψ†Ψ、確率の流れはj=Ψ†αΨで与えられます(より正確にはそれぞれ電荷密度と電流)。
　次にこのようなスピノールが実験的に確かめられているかといえば、スピノールの各成分を直接測るような実験はされていないと思います。その理由は、相対論的には自由粒子でもスピンは保存量ではなく、へりシティがそれに替わりますが、ヘリシティの固有値を指定しても4成分すべてが決まるわけではないからです。すなわち2成分スピノールでは
(1 0)と(0 1)を固有ベクトルとする良い量子数が存在しますが、相対論的には(1 0 0 0)、(0 1 0 0)などを固有ベクトルとする良い量子数がないのです。このようなスピノールを間接的に測る実験が可能かと言えば私は可能だと思いますが、ここには書きません。ご自分で考えてみることをお勧めします。