数列の一般項がうまく表現できません

質問

数学の問題です。

次のような数列がある。

1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,・・・・

このとき、

(1)9/16は何番目の数か。
(2)１００番目の数を求めよ。
(3)１番目から２００番目の数の和を求めよ。

うまく一般項ｎが表現できません。よろしくお願いします。

回答No.1

dreamfighter · ベストアンサー

群数列ですね。

（1）1/1　ｌ　1/2,2/2　ｌ　1/3,2/3,3/3　　ｌ　1/4,2/4,3/4,4/4,・・・・のように群に分ける。
第ｎ群の初項が何番目にあるかを考える。（群数列の最大のポイント）第n-1群までの項数は、
1+2+3+・・・・・+(n-1)＝n(n-1)/2 ∴第ｎ群の初項はn(n-1)/2 +1番目

9/16は第１６群の９番目の数なので16（16-1）/2　+9＝129番目の数（答え）

（2）第１４群の初項は、14（14-1）/2　+1＝92番目　　第１５群の初項は、15（15-1）/2　+1＝106番目
よって100番目の数は第１４群の9番目。∴9/14（答え）

（３）200番目の数が何群の何番目かを考えます。
第２０群の初項は20（20-1）/2　+1＝191番目　第２１群の初項は21（21-1）/2　+1＝211番目
よって200番目は第２０群の１０番目。

ここで第n群の和を考える。第ｎ群の分子は、初項1　公差1　項数ｎ　の等差数列。分母はｎ。

よってSn=(n(n+1)/2)/n

∴１番目から１９０番目までの和（つまり第１群から第１９群までの和）は
（k=1 to 19）Σ(k(k+1)/2)/k　=209/2

191番目から２００番目までの和は、
（1+2+3+・・+10）/20＝11/4

∴求める和は、209/2　+　11/4　＝429/4（答え）

お礼

有り難うございました。

回答No.2

info22_

>うまく一般項ｎが表現できません。
一般項は難しいでしょう。

グループ分けして
G1,G2,G3,・・・,Gm,・・・

G1:{1/1}, 　　　G1=1項　累計=1
G2:{1/2,2/2}, G2=2項　累計=1+2
G3:{1/3,2/3,3/3}, G3=3項　累計=1+2+3
G4:{1/4,2/4,3/4,4/4},　　G4=4項　累計=1+2+3+4
・・・・
Gm:{1/m,2/m,・・・,m/m}　Gm:m項　累計=1+2+・・・+m=m(m+1)/2

と整理すると良いでしょう。

(1)
16-1=15
G15までの累計=15(15+1)/2=120
9/16はG16の9番目なので
120+9=129番目

(2)
(m-1)m/2＜100≦m(m+1)/2
をm≧1の元で解けば
　(3√89-1)/2(≒13.65)≦m＜(3√89+1)/2(≒14.65)
mは整数なので m=14
G13までの累計(m-1)m/2=91
G14の　100-91=9番目
G14の9番目　→ 9/14

(3)
(m-1)m/2＜200≦m(m+1)/2
を解いて　m=20
(m-1)m/2=190
200-190=10
G20の10番目

G1の和=1
G2の和=(1+2)/2=3/2
G3の和=(1+2+3)/3=6/3=2
…
Gmの和=(1+2+・・・+m)/m=(m(m+1)/2)/m=(m+1)/2

１番目から２００番目の数の和
Σ[m=1,19]Gm +(Σ[n=1,10] n)/20
=Σ[m=1,19] (m+1)/2 +55/20
=209/2 +55/20 =429/4

合っているかは保証の限りではないのでご自分でフォローしてチェックしてください。

お礼

有り難うございました。