解決済みの質問

質問No.3426887
暇なときにでも
暇なときにでも
お気に入り投稿に追加する (0人が追加しました)
回答数7
閲覧数296
2の倍数または3の倍数である数列の一般項は?
自然数を考えます。
その中で、2の倍数は順に、
2,4,6,8,10、…
となり、一般項は、
2n
となります。
同様に、3の倍数は順に、
3,6,9,12,15、…
となり、一般項は、
3n
となります。

ところで、それらの共通部分は、6の倍数であり、順に、
6,12、18,24、…
となり、一般項は、
6n
となります。

そして、考えたいのが、それらの和集合、つまり、2の倍数または3の倍数で、順に、
2,3,4,6,8,9、10,12、…
となる数列です。
その一般項はどう表されるのでしょか?
投稿日時 - 2007-10-13 23:17:54

質問者が選んだベストアンサー

回答No.7
No.6ですが、補足しておきますと

オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθから、
sinθ=1/(2i)×{e^(iθ)-e^(-iθ)}なので、

例えば、3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)において、

sin(πn/2)=1/(2i)×{e^(nπi/2)-e^(-nπi/2)}
=1/(2i)×[{e^(πi/2)}^n-{e^(-πi/2)}^n]
=1/(2i)×[{cos(π/2)+isin(π/2)}^n-{cos(-π/2)+isin(-π/2)}^n]
=1/(2i)×{i^n-(-i)^n}
よって
3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)=3n/2 + 1/(4i)×{i^n-(-i)^n}

おそらく、複素数を用いた回答NO.2で求められる解と一致すると思いますよ。
回答No.2のように複素数を用いたほうが、一般解を求める際には強力です。
投稿日時 - 2007-10-16 12:03:50
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)

ベストアンサー以外の回答 (6)

回答No.6
No5です。すでに求められていたようですね。失礼しました。

2,5の倍数で同じようなことを考えると、
2,4,5,6,8,10,12…
ですが、
5n/3+{(3+(-1)^n)/3√3}sin(nπ/3)
となりますかね?
もはやsinだけでは表せなくなっています。

また、奇数と奇数の組み合わせでやろうとすると、
周期が奇数個になるので、やはりsinだけではだめかなと思います。
複素数まで拡張すれば、何かうまいことがあるのかもしれませんが....
投稿日時 - 2007-10-16 11:16:53
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)
回答No.5
sinとか使っていいのであれば、
一般項は 1.5n+0.5sin(nπ/2)
とかけます。
期待されていない答え方かもしれませんが、シンプルでしょう。
投稿日時 - 2007-10-16 10:33:42
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)
回答No.4
NO3で回答したのですが、(3)の(4n-1)は(4n+1)の間違いでした。わかりくくてすみません。
投稿日時 - 2007-10-14 19:09:58
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)
回答No.3
 こういう場合はいくつかの場合に分けるとわかりやすいと思います。ただ昔やっていたことのうろ覚えで、正しいのかどうかはっきり自信はありません。
 (1)偶数番目は必ず3の倍数となっているのでnが偶数の場合は 3(n/2)
 (2)奇数番目の中でさらに(4n-3)番目の場合は 1/2(3n+1)
 (3)奇数番目の中で(4n-1)番目の場合は 1/2(3n-1)
 何か変な場合分けになってしまったかもしれませんが、参考にしてください。

 
投稿日時 - 2007-10-14 19:01:58
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)
回答No.2
0.5 の前は「+」じゃなくて「-」ですけどね.
で残りの部分ですが, 以下のように無理すれば記述できます:
互いに素な a, b に対し, 最小公倍数は ab で「1~ab の中でどちらとも素であるもの」が (a-1)(b-1) 個だから, 「1~ab の中で a と b の少なくとも一方の倍数であるもの」は ab - (a-1)(b-1) = a+b-1 個あります. つまり, 求める数列を x(k), k = 1, 2, ... とおくと
x(k + a+b-1) = x(k) + ab
です.
で, ωを 1 の原始 (a+b-1)乗根とすると
Σ(k=0~a+b-2) (ω^k)^n
は n が a+b-1 の倍数のときのみ a+b-1 で, そうでなければ 0 となります.
ということは, まず
y(k) = abk / (a+b-1)
という数列を作っておいて, x(k) との差分 z(k) を ω で補正すればいいということになります.
例えば a = 2, b = 3 のときは ab = 6, a+b-1 = 4 なので
y(k) = 6k/4 = 3k/2, ω = i
となります. で, 補正項 z(k) は
z(k) = αi^(0k) + βi^(1k) + γi^(2k) + δi^(3k)
(当然ですが 0k = 0) に k = 1, 2, 3, 4 を代入して α, β, γ, δ を求めれば見付かります.
投稿日時 - 2007-10-14 01:42:51
この回答を支持する
(現在0人が支持しています)
6件中 1~5件目を表示
この質問は役に立ちましたか?
1人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています
もっと聞いてみる

関連するQ&A

この他の関連するQ&Aをキーワードで探す

別のキーワードで再検索する

同じカテゴリの人気Q&Aランキング

カテゴリ
数学
-PR-
-PR-
-PR-

特集

試写会に30組60名様をご招待!

お城、ボート、ツリーハウス、ユニークな物件満載!

親同士が気軽に情報交換できるコミュニティです。

同じカテゴリの人気Q&Aランキング

カテゴリ
数学
-PR-

ピックアップ

おすすめリンク

-PR-