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自然数を考えます。
その中で、2の倍数は順に、
2,4,6,8,10、…
となり、一般項は、
2n
となります。
同様に、3の倍数は順に、
3,6,9,12,15、…
となり、一般項は、
3n
となります。

ところで、それらの共通部分は、6の倍数であり、順に、
6,12、18,24、…
となり、一般項は、
6n
となります。

そして、考えたいのが、それらの和集合、つまり、2の倍数または3の倍数で、順に、
2,3,4,6,8,9、10,12、…
となる数列です。
その一般項はどう表されるのでしょか?
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Aみんなの回答(全7件)

質問者が選んだベストアンサー

  • 2007-10-16 12:03:50
  • 回答No.7
noname#47894

No.6ですが、補足しておきますと

オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθから、
sinθ=1/(2i)×{e^(iθ)-e^(-iθ)}なので、

例えば、3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)において、

sin(πn/2)=1/(2i)×{e^(nπi/2)-e^(-nπi/2)}
=1/(2i)×[{e^(πi/2)}^n-{e^(-πi/2)}^n]
=1/(2i)×[{cos(π/2)+isin(π/2)}^n-{cos(-π/2)+isin(-π/2)}^n]
=1/(2i)×{i^n-(-i)^n}
よって
3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)=3n/2 + 1/(4i)×{i^n-(-i)^n}

おそらく、複素数を用いた回答NO.2で求められる解と一致すると思いますよ。
回答No.2のように複素数を用いたほうが、一般解を求める際には強力です。
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  • ありがとう数0

その他の回答 (全6件)

  • 2007-10-13 23:42:07
  • 回答No.1
3n/2 を考えると
1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, ...
と近くなるので, 差分
-0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ...
を補正すればいいということになります.
お礼コメント
ありがとうございます。
-0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ...
は0.5で割ると、
-1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, ...
となり、これは
-sin(πn/2)
となるので、結局、
3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)
となるのでしょうか。

一般に互いに素なaとbにおいて、aの倍数またはbの倍数である数列の一般項は、書き表すことが可能なのでしょうか?
投稿日時 - 2007-10-14 00:09:10
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  • 2007-10-14 01:42:51
  • 回答No.2
0.5 の前は「+」じゃなくて「-」ですけどね.
で残りの部分ですが, 以下のように無理すれば記述できます:
互いに素な a, b に対し, 最小公倍数は ab で「1~ab の中でどちらとも素であるもの」が (a-1)(b-1) 個だから, 「1~ab の中で a と b の少なくとも一方の倍数であるもの」は ab - (a-1)(b-1) = a+b-1 個あります. つまり, 求める数列を x(k), k = 1, 2, ... とおくと
x(k + a+b-1) = x(k) + ab
です.
で, ωを 1 の原始 (a+b-1)乗根とすると
Σ(k=0~a+b-2) (ω^k)^n
は n が a+b-1 の倍数のときのみ a+b-1 で, そうでなければ 0 となります.
ということは, まず
y(k) = abk / (a+b-1)
という数列を作っておいて, x(k) との差分 z(k) を ω で補正すればいいということになります.
例えば a = 2, b = 3 のときは ab = 6, a+b-1 = 4 なので
y(k) = 6k/4 = 3k/2, ω = i
となります. で, 補正項 z(k) は
z(k) = αi^(0k) + βi^(1k) + γi^(2k) + δi^(3k)
(当然ですが 0k = 0) に k = 1, 2, 3, 4 を代入して α, β, γ, δ を求めれば見付かります.
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  • 2007-10-14 19:09:58
  • 回答No.4
NO3で回答したのですが、(3)の(4n-1)は(4n+1)の間違いでした。わかりくくてすみません。
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  • 2007-10-16 10:33:42
  • 回答No.5
noname#47894

sinとか使っていいのであれば、
一般項は 1.5n+0.5sin(nπ/2)
とかけます。
期待されていない答え方かもしれませんが、シンプルでしょう。
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  • 2007-10-16 11:16:53
  • 回答No.6
noname#47894

No5です。すでに求められていたようですね。失礼しました。

2,5の倍数で同じようなことを考えると、
2,4,5,6,8,10,12…
ですが、
5n/3+{(3+(-1)^n)/3√3}sin(nπ/3)
となりますかね?
もはやsinだけでは表せなくなっています。

また、奇数と奇数の組み合わせでやろうとすると、
周期が奇数個になるので、やはりsinだけではだめかなと思います。
複素数まで拡張すれば、何かうまいことがあるのかもしれませんが....
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