すごろくの確率の問題なのですが

質問

教えてください。
ｎ桝目に自分の駒が止まる確率を求めたいのですが。
桝には一回休みとか、どこかへ戻るとかの限定条件はなし。
さいころは普通の１から６までのさいころを１個使用。
ｎ＝1なら1/6ですよね。
ｎ＝2は7/36、
ｎ＝3は…

問題は7桝目以降。
特にｎが∞になる時にいくつになるのかが知りたいのですが。感覚的には1/2かなと。

回答No.9

yuusukekyouju · ベストアンサー

漸化式についてはdaisangennさんの式が正しいと思います。
ｎマス目にとまるということは、その直前はｎ-1マス目からｎ-6マス目のどれかにとまるということです。
ですからたとえばｎ-6マス目にとまり、その後１と５が出た場合もｎマス目にとまります。これはｎ-6から1マス進んだｎ-5マスの確率で計算されているのでNO1の回答に対する疑念は晴らされるのではないですか。

漸化式について
P(ｎ+6）＝[P(n+5)+P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)]×1/6
P(ｎ+5）＝[P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)+P(ｎ-1）]×1/6
これを
P(ｎ+1）＝[P(n）+P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)+P(ｎ-5）]×1/6
まで合計して整理すると
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6＝P(ｎ）+P(n-1)×5/6+P(n-2）×4/6+P(n-3)×3/6+P(n-4)×2/6+P(n-5)×1/6

ｎの値が6個前の値から計算できます。
ちなみにｎが6の倍数の場合は
P(6）+P(5)×5/6+P(4）×4/6+P(3)×3/6+P(2)×2/6+P(1)×1/6＝1となります。
nが6の倍数あまり1の場合も1となります。
あまりが2から5の場合も1となるとおもいますが、確認していません。
漸化式が収束すると考えれば、
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6
＝P(n+6)×21/6
＝1となり
P(n+6)＝6/21＝2/7となります。

またサイコロの目のでる期待値は1から6だから3.5となります。ｎが無限に大きくなればどのマス目でとまる確率もひとしくなるので確率は1/3.5つまり2/7ではないですか。

お礼

どうもありがとうございます。
答えの分母が７になるのに違和感を感じていたのですが、確かに期待値から考えるとそうなるのですね。
ここにある確率＝次に進む距離（期待値）の逆数と言う事でしょうか。なにか哲学的ですらあるような。
さいころの目が１だけの時は確率は1/1、1と2なら2/3、3までなら2/4…と考えてゆけばよかったんだ。
と一人で納得いたしております。