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力学

いまいちわかりません。よろしくお願いします。 力の場F(x,Y)=(cy^2,cx^2)の中で失点を原点から点P(1,1)まで動かすのに要する仕事を求めよ。 ただし、cは単位(N/m^2)をもつ定数である。 (1)経路A(y=x)の場合。 (2)経路B(y=x^2)の場合。 (3)経路C(Oから(1,0)まで直線で行き、(1,0)から(1,1)まで行く)場合。

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noname#154783
noname#154783
回答No.1

F = (c y^2, c x^2) = (Fx, Fy) と置くと ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 2c x - 2c y ≠ 0 なので，この力は保存力ではありません． 以下 r = (x, y) と置きます． (1) 経路A: (x, y) = (t, t) (0 ≦ t ≦ 1) とパラメタ表示できるので， dr = (1, 1)dt W = ∫[A] F・dr = 2c∫[0,1] t^2 dt = (2/3) c. (2) 経路B: (x, y) = (t, t^2) (0 ≦ t ≦ 1) とパラメタ表示できるので， dr = (1, 2t)dt W = ∫[B] F・dr = c∫[0,1] (t^4 + 2t^3)dt = c(1/5 + 1/2) = (7/10) c. (3) 添付図参照． W = ∫[C] F・dr = ∫[0,1] Fx(x,0) dx + ∫[0,1] Fy(1,y) dy = 0 + c∫[0,1] dy = c.

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