総当たり戦

質問

１５人でチェスの総当たり戦をした。勝ち、負け、引き分けの数がそれぞれ等しいような
２人はいなかった。このとき、引き分けの試合の総数の最大値を求めよ。

総当たり戦とか、トーナメントに関する数学の問題があるが、あまりやったことがないので、
どこに注目して処理するのかあまりよくわかりません。そしてあまりよくわからないので、
手をつけないという悪循環になるのですが・・・。案の定、この問題もどこから手を付けて良いのか
、自分のやっていることがよくわからなくなってしまいます。

考えたのは
(1)総試合数は１０５試合
(2)１５人の勝ち数の合計をａ、負け数の合計をｂ，引き分けの合計をｃとすると
　　a+b+c=105*2
(3)同じ成績の２はいないという条件は何にきいてくるのか、見通したたず。

　よろしくアドバイスお願いします。

回答No.1

taranko · ベストアンサー

１人の引分けの最大は14から徐々に引分けを少なくしていく
勝　負　引分
0　　0　　14
1　　0　　13
0　　1　　13
1　　1　　12
0　　2　　12
2　　0　　12
0　　3　　11
3　　0　　11
1　　2　　11
2　　1　　11
0　　4　　10
4　　0　　10
2　　2　　10
1　　3　　10
3　　1　　10
計170
2人分なので÷2で引分は85試合
総数なので170で良いのかなぁ？

エクセルで対戦表を作り可能か確認したのですが、たぶん大丈夫だと思います。
他の方法は思いつきませんでした・・・

お礼

回答ありがとうございます
最初の一人が１４引き分けはわかるのですが、
どうして、１３，１３，１２，１２，１２，１２・・・
と少なくなるのか分かりませんでした。

回答No.2

mizukiyuli

15C2=105
総試合数は105

Aさんが全部の試合を引き分けたとすると
0勝0敗14引き分け
同じ成績の2人はいないのでBさんの最大数は
1勝0敗13引き分け　とします
C　0勝1敗13引き分け
D　1勝1敗12引き分け
E　2勝0敗12引き分け
F　0勝2敗12引き分け
G　2勝1敗11引き分け
H　1勝2敗11引き分け
I　3勝0敗11引き分け
J　0勝3敗11引き分け
K　4勝0敗10引き分け
L　0勝4敗10引き分け
M　1勝3敗10引き分け
N　3勝1敗10引き分け
O　2勝2敗10引き分け

14+13*2+12*3+11*4+10*5=14+26+36+44+50=170
170試合でいいと思います。

お礼

回答ありがとうございます
引き分けが、Ｂさん以降規則的に
１３，１３，１２，１２，１２，１２，・・・
といくのかよく分かりませんでした。