複素ポテンシャルをＲとシータで変換したとき

質問

速度のシータ成分がΦをシータで微分したものをＲで割って
いますが、何故でしょうか？
速度のＲ成分はＲで微分するだけですよね？
いまさらこんなこと人に聞けないって感じなので
教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

ハズしてしまった。。＿/￣|○

最後の式
　V=dR/dt = dr/dt・e + rdθ/dt・e'
からdtを外して
　dR = dr・e + rdθ・e'
こいつからeだけとかe'だけを取り出すには偏微分；
∂/∂rで偏微すれば第一項のみ残り
　∂R/∂r=e　　　Rがベクトル、rがその長さ
∂/∂θで偏微すれば第二項のみ残り、
　∂R/∂θ=ｒe'　…(1)
rで割って

　　e'=1/r・∂R/∂θ　　Rがベクトル、θはスカラ

理解は最後の式より(1)式が適切。前レスで描いたdeがeと直交する図を単にr倍に引き延ばした式である。それを踏まえて最後の式をe'の定義式と見なす。Rを長さ変えないでθ方向にだけ微小に動かしたときの（以下略）

以上。

回答No.1

Teleskope

ベクトルは長さと方向を持つ。
位置ベクトルRは、長さをr、方向をe（長さ1のベクトル）として
　R=ｒe　　と書く。

　速度はRを時間微分したものだが、数学の、
関数の積に関する微分公式；
　f(x)・g(x)の微分＝g・df/dx + f・dg/dx
を使って

　速度V=dR/dt=d(re)/dt=e・dr/dt + r・de/dt
と、
大きさの微分と方向の微分に分離できる。

　第一項は「方位を担う単位ベクトルe」にスカラdr/dtを乗じたもので、分かりやすいベクトルである。
　第二項は「方位を担う単位ベクトルe」を微分している。「方向を担うベクトルの微分とは何か？」質問者はここを突っ込んでないゆえの疑問と思われます。

　ベクトルeは方向だけを受け持ったベクトルゆえ、方位磁石の針のごとく長さ一定でクルクル回るだけです。　eが微小に回った図を自分で描いてみる事が必要で、先端が描くベクトル deが e自身と直角であることに気付けば疑問は解決。
その deの長さは、eが角度dθ動いたとすると 1・dθ=dθです(*)。
ゆえに、
　de = dθ・e'
ただし、
　θはスカラ
　e'は回転方向の単位ベクトル、eとは垂直関係
速度は距離/所要時間ゆえ、上式両辺をdtで割って
　de/dt=dθ/dt・e'

結果、
　V=d(re)/dt = dr/dt・e + rdθ/dt・e'

第一項はR方向の変化成分すなわち長さ変化の成分、
第二項はそれと直角すなわち方向変化の成分。
互いに直交。

以上。

(*)半径Rの円の中心から角度θラジアンで開く扇形の弧の長さLは、L=Rθ