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速度ポテンシャルと流れ関数
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W(z)=φ+iψ とおくと、 dW/dz = u-iv = 2xy-i(x^2-y^2+1) = -i(z^2+1) より、両辺をzで積分して W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz = -i(z^3/3 + z) + const. = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1 = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1) よって φ = x^2y-y^3/3+y+C0 ψ = xy^2-x^3/3-x+C1 となります。
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- KENZOU
- ベストアンサー率54% (241/444)
tomtakさんが既にご回答されていますので、以下、補足の蛇足。 >二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が u=2xy v=x^2-y^2+1 であるとき 速度ポテンシャルφは次式で定義される(←流体力学のテキスト参照)。 u=2xy=∂φ/∂x (1) v=x^2-y^2+1=∂φ/∂y (2) 一方、流れ関数ψは次式で定義される。 u=2xy=∂ψ/∂y (3) v=x^2-y^2+1=-∂ψ/∂x (4) ●速度ポテンシャルφは(1),(2)より φ=x^2y+C(x),C(x)はxだけの関数 (5) φ=x^2y-(1/3)y^3+y+C(y),C(y)はy〃 (6) (5)(6)は恒等的に等しいことから C(x)=0,C(y)=(1/3)y^3-y を得る。これを(5)に代入して φ=x^2y。 ●流れ関数ψもまったく同様にして (3)より ψ=xy^2+C(y),C(y)はyだけの関数 (7) (4)より ψ=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x),C(x)はx 〃 (8) (7)と(8)は恒等的に同じだから xy^2+C(y)=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x) (9) これから(x,yの項それぞれを比較する) C(x)=(1/3)x^3+x,C(y)=0 (10) が得られる。(10)を(7)に代入すると流れ関数は ψ=xy^2。
お礼
授業では習わなかった回答法で、参考になりました。 ありがとうございます。
- SteveStrawb
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このような流体力学の場合、偏微分でいっぱいの式をここにテキストベースで書くのは無理なので、ヒントだけ書きます。 ナビエ・ストークスの式と、連続の式の定義にu,vを叩き込んでみてください。
補足
早速の回答ありがとうございます。 複素ポテンシャル dw/dz=u-ivから求めることはできませんか?
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わかりやすい回答ありがとうございます。