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流体力学、2次元流れ、速度ポテンシャル、流線の問題
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こんにちは。lycaonです。 まず回答を。 Φ= A・x/r^2、 r^2 = x^2 + y^2 ...(1) u = -∂Φ/∂x ...(2) = -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2) = -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 = A・(x^2-y^2)/r^4 v = -∂Φ/∂y ...(3) = -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) = 2A・xy/r^4 dx/u = dy/v ...(4) u,vを代入し整理、2xy・dx=(x^2-y^2)・dy y = px と置くと dy = pdx + xdp 2xy・dx=2p・x^2・dx (x^2-y^2)・dy=(1-p^2)x^2・(pdx + xdp) 代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5) ←変数分離形 (1-p^2)/p/(1+p^2)= D/p + (Ep+F)/(1+p^2) と置き右辺を通分 分子=D(1+p^2) + p(Ep+F) = (D+E)p^2 + Fp + D D+E=-1、F=0、D=1→E=-2 結局(5)→ {1/p - 2p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5') ∫(1/p)dp=ln(p) + C1, -∫2p/(1+p^2)dp =-ln(1+p^2)+C2 ←∫f'(x)/f(x)dx=ln(f(x))の形。 ∫(1/x)dx=ln(x) + C3 (5')に代入し整理 ln{p/(1+p^2)}dp=ln(Cx)、C1~C3をCにまとめた。 p/(1+p^2)=Cx → y=px で戻し (x^2+y^2) = y/C、 1/(2C)=a と置き、x^2 + (y-a)^2 = a^2...(6) 回答終わり。
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lycaonです。解説します。 (1)のΦは「速度ポテンシャル」。 渦なしが必要条件。 ポテンシャルエネの代表は位置エネ。 地面(x=0)の上、高さhから質量mの物体を放り投げるとき、真上・真下・斜めに投げても、x=0までに失う位置エネはmghで「途中の経路によらない」←ポテンシャルの特徴。 速度ポテンシャルは山の等高線に対応し、2本のΦの間が狭いほど傾斜が急→流速大。 理想流体(ポテンシャル流れ)はΦと直交する方向に流れる。 速度ベクトルv=-grad(Φ) →(2)(3)式。...(8) ΔΦ=∂^2Φ/∂x^2+∂^2Φ/∂y^2=0(ラプラス式)...(9) (6)の2aをΨと書き換えると Ψ=(x^2+y^2)/y...(7) Ψは「流れ関数」。 実用上渦なしの、2次元流れ、のみに存在。ポテンシャル流れでない粘性流体にも存在。 Ψ=一定の曲線は流線を表わし、2本の流線間(流管)が狭いほど流速大。 u = -∂Ψ/∂y ...(10) v = -∂Ψ/∂x ...(11) ΔΨ=∂^2Ψ/∂x^2+∂^2Ψ/∂y^2=0(ラプラス式)...(12) (1)も(7)も (x,y)を変えれば曲面を描く。 Φ=constとΨ=const の線はどの点でも直交。 A=1、-5≦x≦5、-5≦y≦5 で x,y共0.25ピッチでΦとΨを近似計算したのが下図。 Excelの図で原点付近は不正確。 3D等高線図では山の頂上 (x,y)=(0.25,0)で湧き出た流れが谷底 (-0.25,0) に吸い込まれる。 ところが本題で本当は(1)式より、x軸上でΦ=A/x。 原点を挟んで山谷が密着し標高は各々±∞。 山谷密着ゆえΨのすべての円群が原点でx軸に接することが可能になっている。 (流体では現実にはありえない流れ。数学的に簡単ゆえ出された問題と思われるが、てこずりました。) 私は電気は門外漢ですが、山谷が少し離れた電気双極子の電気力線~等電位面は、電気の本などでよく見かけます。↓ なお正負電荷の距離を限りなく0に近づけた電気双極子(本題と同形)を、点双極子というようです。
- endlessriver
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あと特異解、w=y/x=0すなわちy=0がありました。
- endlessriver
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dx/u=dy/v だからdy/dx=v/uの微分方程式を解くだけです。w=y/xとかおいて解けば。
お礼
回答ありがとうございます。 解いてみます。
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