単調性を調べるというのは、
a[n+1] - a[n] の符号が一定かどうか調べるということです。
(1)(2)とも、各項が正であることは明らかなので、
代わりに a[n+1]^2 - a[n]^2 の符号を調べればよいでしょう。
計算してみれば、どちらも単調増加であることが判ります。
有界性を調べるというのは、
全ての項より大きい値または全ての項より小さい値が存在するか
どうか調べるということです。
(1)なら任意の n で a[n]≦100 とか、
(2)なら任意の n で a[n]≦3 とか、
気づくのも示すのも容易かと思います。
「上に有界な単調増加列は収束する」という
Bolzano–Weierstrass の定理は、実数の連続性の表現のひとつで、
実数を定義するやり方によっては、公理とする場合もあります。
以上により、(1)(2)は収束すると言えるのですが、
収束性が言えてしまえば、漸化式の両辺を n→∞ とすることで、
(1) lim[n→∞]a[n] = 2 √( lim[n→∞]a[n] )
(2) lim[n→∞]a[n] = √( lim[n→∞]a[n] + 1 )
が判ります。両辺を二乗して、二次方程式を解けば完了です。
適解の選択に気をつけて。
