数学で…

質問

画像にある問題についての解法を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

(1) cos^n x の原始関数の1つをF(x)と置く： F'(x) = cos^n x.

そうすると，
J[n](t) = F(t+π/2) - F(t)
であるから，
J[n]'(t) = F'(t+π/2) - F'(t) = cos^n(t+π/2) - cos^n t.

ところで，cos(t+π/2) = -sin t なので，
J[n]'(t) = (-1)^n sin^n t - cos^n t.

(2) y = x+π と置いて置換積分を行うと，
J[n] (t)
= ∫[t+π,(t+π)+π/2] cos^n(y-π) dy
= ∫[t+π,(t+π)+π/2] (-cos y)^n dy
= (-1)^n ∫[t+π,(t+π)+π/2] cos^n y dy
= (-1)^n J[n](t+π).

∴J[n](t+π) = (-1)^n J[n](t).

(3) n = 2 のとき

J[2](t)
= ∫[t,t+π/2] cos^2 x dx
= 1/2 ∫[t,t+π/2] (1+cos 2x) dx
= π/4 - (sin 2t)/2.

なので，0 ≦ t ≦ π において J[2](t) は
t = 3π/4 のとき，最大値 π/4 + 1/2 をとり，
t = π/4 のとき，最小値 π/4 - 1/2 をとる．

(4) n = 3 のとき

(1)の結果より

J[3]'(t)
= -sin^3 t - cos^3 t
= -(sin t + cos t)(sin^2 - sin t cos t + cos^2 t)
= √2 sin(t - 3π/4) (1 - (sin 2t)/2).

また，

J[3](t)
= ∫[t,t+π/2] cos^3 x dx
= ∫[t,t+π/2] (1 - sin^2 x)cos x dx.

ここで，s = sin x と置いて置換積分を行うと，

J[3](t)
= ∫[sin t,cos t] (1 - s^2) ds
= cos t - sin t - (cos^3 t)/3 + (sin^3 t)/3,

J[3](0) = 2/3,
J[3](π) = (-1)^3 J[3](0) = -2/3 (∵(2)).
J[3](3π/4) = -√2/2 - √2/2 + √2/12 + √2/12 = -5√2/6.

以上より(添付図の増減表参照)，0 ≦ t ≦ π において J[3](t) は
t = 0 のとき，最大値 2/3 をとり，
t = 3π/4 のとき，最小値 -5√2/6 をとる．

(3)と(4)については何か工夫できないかなあとも思ったのですが，
どのみち最大値と最小値の具体的な値を求めるのに
J[2](t)やJ[3](t)の具体的な式が必要ですし，
n = 2 や 3 ぐらいなら積分計算もそんなにしんどくないので，
結局，積分計算をやってしまいました．

お礼

(1)から(4)まで解説して頂いてとても感謝してます。

助かりました。

ありがとうございます。

回答No.1

ei10

さっき見て、全部解けなかったので回答しませんでしたが、
誰も回答していないみたいなので（1）だけ載せます。

Jn(t)=(t→t+π/2)∫(cosx)^n dx　・・・(1)

という式ですよね？

f(x)=(cosx)^n
F(x)=∫f(x) dx

とおきます。
すると、(1)は
Jn(t)=(t→t+π/2)∫f(x) dx
=[F(x)](t→t+π/2)
=F(t+π/2)-F(t)

よって、
Jn'(t)=f(t+π/2)-f(t)
={cos(t+π/2)}^n-(cost)^n
=(-sint)^n-(cost)^n

となると思います。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

助かりました。