数学の極限と不等式の問題の解答を教えてください。

質問

高校数学の問題の解法を教えて下さい。画像添付しました。わかる方どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

spring135

(1)

fn(x)=(1/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]

f(x)=lim(n→∞)fn(x)=lim(n→∞)(1/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n] (1)

このような問題は積分と関係づけて解けと言われているようなもの。

(0~x)におけるcosxの積分は(0~x)をnこの短冊に切って足し合わせ、n→∞としたもの、つまり

∫(0→x)cosx=lim(n→∞){(x/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]} (2)

(1),(2)を比較すると

∫(0→x)cosx=lim(n→∞){(x/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]}=xf(x)

ゆえに

f(x)=(1/x)∫(0→x)cosx=sinx/x

(2)

f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2=[cosx/x^2](x-tanx)

0<x<π/2においてcosx/x^2>0

また参考urlにあるように0<x<π/2においてtanx>x

よって0<x<π/2においてf'(x)<0

すなわちf(x)は単調減少

f(0)=lim(x→0)[sinx/x}=1 (ロピタルの定理を使えば簡単)

f(π/2)=2/π

以上より0<x<π/2において

0<f(x)<2/π

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1092548455

お礼

詳しく教えてくださりありがとうございました。
＊最後の行は２/π＜f(x)＜１　ですね？

回答No.2

Ae610

ANo.1です・・!

失礼!!
(2)を訂正

(2)
y = f(x)－2/π
・・・とでもして大小関係を見てみる
(このままだと比較し難いのでy = xf(x)－2x/π　・・にしてみるとか!?)

お礼

訂正までしてくださりありがとうございます。

回答No.1

Ae610

(1)
f(x)
= lim(n→∞)fn(x)
= lim(n→∞)Σ[k=0～n-1]cos(x・(k/n))・(1/n)
・・・はどう表現できるか

(2)
y = f(x)－2x/π
・・・とでもして大小関係を見てみる

お礼

参考になりました。ありがとうございます。