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不等式の証明
a≧b≧0のとき√（9a-b）≧2√a-√(a-b)を証明しなさい。 初めはa-b=kとかに置けば証明できるかなと思ったんですがよくわかりません わかる方はヒントだけでもいいのでご教授下さい。 よろしくお願いします。
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数学は、数字1つ、文字1つ違うと、答えがまったく変わってきます。 質問する上で、誤字脱字がないように注意しましょう。 {2√a+√(a-b)}^2＝4a+a-b+4√a(a-b)＝5a+4√{a(a-b)}-b a≧b≧0より、a≧a-b≧0 5a+4√{a(a-b)}-b≦5a+4√(a^2)-b＝9a-b 9a-b≧{2√a+√(a-b)}^2 √(9a-b)≧2√a+√(a-b)
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- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞初めはa-b=kとかに置けば証明できるかなと思ったんですがよくわかりません 置き換えは、時として解法を簡単にするし、見通しがよくなる、という利点がある。 従って、方針は誤りではない。 √a＝α、√(a-b)＝β (α≧0、β≧0)とすると、α＾2－β＾2＝b≧0より α≧β≧0 ‥‥(1) 9a-b＝(a-b)＋8a＝8α＾2＋β＾2 であるから、√(8α＾2＋β＾2)≧2α＋β を証明すると良い。 両辺は非負から 2乗して差をとると 左辺＾2-右辺＾2＝4α(α-β)≧0 何故なら (1)による。 等号は、α(α-β)＝0 つまり ab＝0の時。
お礼
ご回答ありがとうございます。
- Rice-Etude
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補足にある通りなら、問題式の左辺も右辺も0以上の値なので、 (左辺の式)≧(右辺の式) を証明するには (左辺の式)^2≧(右辺の式)^2 ※つまり両辺の二乗の値の大小関係が成り立つこと を証明すれば良いです。 結構すっきりした式にまとまりますよ。
- Tacosan
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a ≧ b なら 9a-b ≧ 8a ≧ 4a.
補足
すみません問題文ミスしてました。 右辺の-は正しくは+です。
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