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不等式の証明
不等式の証明で、 a^2+b^2+c^2+d^2+1 >= a+b+c+d を証明しなさいと言う問題があるのですが、どうしても解けません。 わかる方は、やり方を教えてください。 また、このような問題のとき方というものがあれば、教えてください。
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まぁ、一般的には、(~)^2≧0を利用するわけです。 まず、右辺を左辺に移項。そして、その式を関数f(x)とおく。すると問題はf(x)≧0をしめすことになります。 f(x)=a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d+1 =(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)…(1) ここで、思い出しましょう。平方完成です。したがって f(x)=(a-1/2)^2-1/4 +(b-1/2)^2-1/4 +(c-1/2)^2-1/4 +(d-1/2)^2-1/4 +1 =(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2+(d-1/2)^2…(2) また、ここで、a,b,c,dが実数ならば、 (a-1/2)^2≧0 (b-1/2)^2≧0 (c-1/2)^2≧0 (d-1/2)^2≧0 である。 したがって、これらの4つの関係式と(2)式より、f(x)≧0であることが示された。故に与えられた不等式は証明された。 また等式成立は、4関係式より、a=b=c=d=1/2の時。
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
> a-a^2<0 > となるaの範囲は? チョンボ。 a-a^2>0 となるaの範囲は? です。はい。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
では別の解法を。 a^2とaを比べてaの方が大きいときって、どんな場合でしょうか。 つまり a-a^2<0 となるaの範囲は? y=a-a^2 のグラフ(横軸a, 縦軸y)を描いてみましょう。これは上に出っ張ってる放物線ですね。 a軸 (y=0)を横切る点はと言うと、方程式 a(1-a)=0 から a=0, a=1 の2箇所であることが分かります。従って、0<a<1のときだけこのグラフはa軸より上に来て、すなわちa>a^2になります。 さて、 y=a-a^2 が最大になるのはどこでしょうか。グラフは放物線ですから、左右対称形である。だからa=0とa=1の丁度中間、a=1/2のときにyは最大値Y Y=(1/2)-(1/2)^2=1/4 を取ります。 以上で a-a^2≦1/4 が分かった。つまり a^2+1/4 ≧a であって、等号が成り立つのはa=1/2のときだけです。 b,c,dについても全く同様に b^2+1/4 ≧b c^2+1/4 ≧c d^2+1/4 ≧d が成り立ちますんで、問題の不等式が成り立ちます。 そして等号が成り立つのはa=b=c=d=1/2のときだけ。
- rapi7
- ベストアンサー率26% (9/34)
基本方針は、平方完成です。 (a-1/2)^2=a^2-a+1/4・・・・あ (b-1/2)^2=b^2-b+1/4・・・・い (c-1/2)^2=c^2-c+1/4・・・・う (d-1/2)^2=d^2-d+1/4・・・・え としておくと、 「あいうえ」の右辺をすべて足す。 a^2-a+b^2-b+c^2-c+d^2-d+1 =(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2+(d-1/2)^2 >=0 となります。 したがって、a^2+b^2+c^2+d^2+1 >= a+b+c+d 証明は完成です。
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
a^2 - a = (a - 1/2)^2 -1/4 などを使えばよろしいかと。
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