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不等式の証明

a,b,c,dが実数の時、次の不等式(絶対値、ルート、二乗付の式)が成立する らしいのですが、証明方法が判りません、お教え下さい。 　|√(a^2 + b^2) － √(c^2 + d^2)|　＝＜　|a－c| ＋|b－d|　

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回答No.1

頑張れば計算できるが、図形的に。 2次元平面で、 O(0,0) E(a,b) F(c,d) G(c, b)とおけば、左辺 = |OE - OF| 右辺 = |EG + GF|。 ここで三角不等式を思い出すと、 ●三点 OEFを考えれば |OE - OF| ≦ |EF| （等号は3点OEFが三角形でなく、「つぶれている」時） ●三点 EFGを考えれば|EF| ≦ |EG + GF|（等号は3点EFGが三角形でなく、「つぶれている」時） であるから導かれる。

ZARDFAN
質問者

お礼

納得です。 図形で考えることは、思い付きませんでした。 有難うございました。 〔追記〕回答中の|EG + GF|は、|EG| + |GF|ですね。

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