不等式の証明

質問

実数 a,b が不等式 |a|<1<b を満たすとき、
-1<(ab+1)/(a+b)<1 が成立することを証明せよ。

この問題がわかりません。
証明の仕方を教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.2

ferien · ベストアンサー

実数 a,b が不等式 |a|<1<b を満たすとき、
>-1<(ab+1)/(a+b)<1 が成立することを証明せよ。

|a|<1<bから、－１＜ａ＜１，１＜ｂだから
０＜ａ＋ｂ
０＜ａ＋１＜２
２＜ｂ＋１

>-1<(ab+1)/(a+b)
１＋(ab+1)/(a+b)＞０を示す。
与式＝｛ａ＋ｂ）＋（ａｂ＋１）｝／（ａ＋ｂ）
分母＝ａ＋ｂ＞０だから
分子＞０が示せれば良い
分子＝ａ（ｂ＋１）＋ｂ＋１
　　＝（ａ＋１）（ｂ＋１）＞０（ａ＋１＞０，ｂ＋１＞２より）
よって、１＋(ab+1)/(a+b)＞０より、
-1<(ab+1)/(a+b)

>(ab+1)/(a+b)<1
１－(ab+1)/(a+b)＞０を示す。
与式＝｛（ａ＋ｂ）－（ａｂ＋１）｝／（ａ＋ｂ）
分母＞０だから、分子＞０が示せれば良い
分子＝－ａ（ｂ－１）＋（ｂ－１）
　　＝（１－ａ）（ｂ－１）＞０（１－ａ＞０，ｂ－１＞０より）
よって、１－(ab+1)/(a+b)＞０より、
(ab+1)/(a+b)<1

でどうでしょうか？

回答No.1

151A48

-1<(ab+1)/(a+b)の不等式
右辺から左辺を引き，通分して整理すると(a+1)(b+1)/(a+b)　これが正をいえばよい。　
条件｜a｜＜１は-1<a<1，　これと１＜ｂより上の各因子が正であることがわかるはずです。
後半の不等式も似たような式変形でできます。