- ベストアンサー
不等式の証明
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(a-1/2)^2+(b+1/2)^2≧0ですね
その他の回答 (4)
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
式だけ見ててもわかりにくいのかな? 平面上で見ると、(a-1/2)^2+(b+1/2)^2は、 点(a,b)と点(1/2,-1/2)の距離の2乗なので、 0以上になる。(三平方の定理を思い出す) これが0になるのは、点(a,b)が点(1/2,-1/2) にくっついてしまうときで、a=1/2,b=-1/2のとき。 式だけ見てても、よくわからないときは、図形的に 考えると良くイメージできると思います。 ちょっと、蛇足かな・・・
お礼
そういうことなんですねw どうもありがとうございました。
- kakkysan
- ベストアンサー率37% (190/511)
NO1の方の通りですが、少し考え方のヒントを。 式が0以上である事を証明するには、次のような性質を利用します。 (実数)^2≧0…(2乗すると0以上) (0以上)+(0以上)≧0 そこで、与式を「平方完成」してみればよい事に気付きます。あるいは(何か)^2の因数分解が出来ないかと思いながら、式をじっと見つめます。そのうち「見えてくる」でしょう。 付録 式>0 を証明するには 正+正>0 (何か)^2+正>0 大-小>0 正×正>0 を利用します(与えられた式を、上記の形に変形します)
お礼
よく分かりました。 どうもありがとうございました。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
>あと等号が成り立つ場合を調べよってことなんですが、 >a=1/2,b=-1/2 >でいいんでしょうか? それで構いません。合ってます。
お礼
本当に感謝感謝です。 どうもありがとうございました。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
2次式の不等式を考えるコツは、1)平方完成の形にする、2)因数分解の形にする、3)相加相乗平均を使う、4)微分を使う、などの方法がありますが、この問題のケースでは1)の平方完成で証明することができます。 左辺は次のように、平方完成の形に変形できます。 a^2-a+b^2+b+1/2 =(a-1/2)^2+(b-1/2)^2 ・・・・・☆ 2乗したものは0以上であることから、左辺は2乗したものを加えたもので表されるので、必ず0以上であることがいえます。 (a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧0 ちなみに、平方完成を作るときは、どれかひとつの文字(例えば、a)に注目して整理し、a^2の係数とaの係数を考えて次のように変形していきます。 a^2+ka=(a^2+ka+k^2/4)-k^2/4=(a+k/2)^2-k^2/4 これをaとbとに対して行えば、左辺から式☆が得られます。
お礼
分かりやすい回答をどうもありがとうございました!!
関連するQ&A
- 不等式の証明を教えてください
不等式の証明問題で分からないので教えてください。 a>0,b>0のとき、次の不等式を証明しなさい。また、等合が成り立つ場合を調べなさい。 a^3+b^3≧a^2b+ab^2 この問題がどうしてもわからないので、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 絶対値を含む不等式の証明(2)
お世話さまです。 絶対値を含む不等式の証明にはほんとにお手上げです。 ふつうの不等式の証明はできていたのですが・・・。 次の不等式を証明しなさい。と言う問題で。 |a-b|<=|a|+|b| 私のこたえかた(見よう見まねで全然わかっていないのですが) |a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0 a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0 0<=0 |a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0 よって|a-b|<=|a|+|b| 等号はa=b=0 絶対、おかしいとは思うのですが、 絶対値の不等式でなにをすればいいのかわかっていません。 上記の問題の解き方と絶対値の不等式の証明はなにをすればいいか ご教授ください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
これで証明できたといっていいんでしょうか?? あと等号が成り立つ場合を調べよってことなんですが、 a=1/2,b=-1/2 でいいんでしょうか?