大学の積分の問題です

質問

∬1/√(x^2+y^2)dxdy D＝{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} この領域Dでの積分の問題がどうしても解けません。解答をおせていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

tomochin630 · ベストアンサー

x = r cosθ
y = r sinθ

とおくと、dxdy = rdθdrより、

　∬1/√(x^2+y^2)dxdy　=　∬rdrdθ/r

と書けます。 このとき、領域Dをrとθで表すと：
(1)0≦r≦1/cosθ (0≦θ≦π/4のとき)
(2)0≦r≦1/sinθ (π/4≦θ≦π/2のとき)
となります。

(2)は、θ'=π/2-θとおくと、(1)と同じになりますから、
結局、(1)の領域で積分して２倍すれば良い事になります。

即ち：

　∬1/√(x^2+y^2)dxdy　＝　2∫[θ=0→π/4]∫[r=0→1/cosθ] drdθ
　＝　2∫[θ=0→π/4]dθ/cosθ

ここで、∫dθ/cosθは、

　∫dθ/cosθ　＝　∫cosθdθ/(cosθ)^2
　　　　　　 ＝　∫cosθdθ/{(1+sinθ)(1-sinθ)}
　　　　　　 ＝　(1/2)∫{d(1+sinθ)/(1+sinθ)-d(1-sinθ)/(1-sinθ)}
　　　　　　 ＝　(1/2)log|(1+sinθ)/(1-sinθ)| + C
　　　　　　 ＝　(1/2)log|(1+sinθ)^2/(cosθ)^2| + C
　　　　　　 ＝　log|(1+sinθ)/cosθ| + C

となるので、

　2∫[θ=0→π/4]dθ/cosθ　＝ 2log{(1+1/√2)/(1/√2)}
　　　　　　 　　　　　 ＝ 2log(1+√2)
　　　　　　 　　　　　 ＝ log(3+2√2)

となります。
信じるか信じないかはあなた次第です！

お礼

とても丁寧な解答ありがとうございました。