積分について

質問

積分について

積分の問題について

（１）∫（０→π/2) √(1-cost)/(1+cost) dt

(2) ∬D (x+y)^2(2x-y)^4dxdy D={(x,y)| |x+y|≦2, |2x-y|≦1}

この問題の解答例をお願いします。
答えがなくてこまっております＞＜

自分の答えでは
（１）０

（２）8√2/45 になりました。

お願いします

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞（１）∫（０→π/2) √(1-cost)/(1+cost) dt
ｕ＝tan(t/2)とおくと、cos(t)＝（１－ｕ^2）／（１＋ｕ^2）
ｄｔ＝｛２／（１＋ｕ^2）｝ｄｕ　だから、
＝∫（０→１）｛２ｔ／（１＋ｔ^2）｝ｄｔの形になり、
さらに　ｖ＝１＋ｕ^2と置換積分すると、
＝∫（１→２）（１／ｖ）ｄｖ
＝log２

(2) ∬D (x+y)^2(2x-y)^4dxdy D={(x,y)| |x+y|≦2, |2x-y|≦1}
ｕ＝ｘ＋ｙ，ｖ＝２ｘ－ｙとおくと、｜ｕ｜≦２，　｜ｖ｜≦１
ｘ＝(1/3)（ｕ＋ｖ），　ｙ＝(1/3)（２ｕ－ｖ）だから、
ｘｕ＝ｘｖ＝1/3，　ｙｕ＝2/3，　ｙv＝-1/3だから、｜Ｊ｜＝1/3
＝(1/3)∫（－２→２）ｕ^2ｄｕ・∫（－１→１）ｖ^4ｄｖ
＝(1/3)×（16/3）×（2/5）
＝32/45

になりました。どうでしょうか？確認してみて下さい。

回答No.2

ferien

ANo.1です。済みません。訂正です。

＞＝∫（０→１）｛２ｔ／（１＋ｔ^2）｝ｄｔの形になり、
は、
＝∫（０→１）｛２ｕ／（１＋ｕ^2）｝ｄｕの形になり、

でした。これでお願いします。