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積分

λは実定数で、0<λ<1に対して、 D_ε={(x,y)∈R^3:x^2+y^2<=1} とおくとき、 lim[ε→0]∬_D_ε(1/(x^2+y^2)^(λ/2))dxdyと、 lim[ε→0]∬_D_ε((log(x^2+y^2)^(1/2))/((x^2+y^2)^(λ/2)))dxdy の広義積分が、 収束するかどうかの判定と、収束するときの値がわかりません。 どなたか途中を含め解答お願いします。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.5

#2,#3です。 A#3の補足について >D_ε={(x,y)∈R^2:ε<=x^2+y^2<=1,ε>0} >ですが、結果はおなじですよね rでの積分の上限、下限が変わりますので、「結果は同じではありません。」 結果の式をよく見て確認して下さい。 A#2のだとD_εだと両方の積分ともゼロに収束(極限値=0)であるけれども A#3のD_εだと両方の積分ともセロでな値に収束します。 その際の積分結果も前の積分の積分値は正値、後ろの積分の積分値は負値で、絶対値も等しくないですよ。

konakon
質問者

お礼

ありがとうございます。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

A No.1 の手順を実行すれば、 A No.3 のようになります。 答えも正解ですが、 計算は質問者自身にやって欲しかった。 そのためのヒントだから。

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

#2です。 >>λは実定数で、0<λ<1に対して、 >>D_ε={(x,y)∈R^3:x^2+y^2<=1} >>とおくとき、 >この領域の定義では添字εが領域と関係なくlim[ε→0]の極限をとる >意味を持ちません。 >D_ε={(x,y)∈R^3:ε<=x^2+y^2<=1,ε>0} であれば x=rcosθ,y=rsinθの変数変換をすると  (1/(x^2+y^2)^(λ/2))dxdy=r^(1-λ) drdθ より  lim[ε→0+]∬_D_ε(1/(x^2+y^2)^(λ/2))dxdy  =lim[ε→0+]∬_D_εr^(1-λ)drdθ  =lim[ε→0+]∫[0,2π]dθ∫[ε,1] r^(1-λ)dr  =lim[ε→0+] {2π/(2-λ)}{1-ε^(2-λ)}  =2π/(2-λ) (∵ 2-λ>0)  ((log((x^2+y^2)^(1/2)))/((x^2+y^2)^(λ/2)))dxdy  =(log(r))r^(1-λ)drdθ より  lim[ε→0]∬_D_ε((log(x^2+y^2)^(1/2))/((x^2+y^2)^(λ/2)))dxdy  =lim[ε→0+]∬_D_ε(log(r))r^(1-λ)drdθ  =lim[ε→0+]∫[0,2π]dθ∫[ε,1] (log(r))r^(1-λ)dr  =lim[ε→0+] {2π/(2-λ)^2}[ε^(2-λ){1-(2-λ)log(ε)}-1]  =-2π/(2-λ)^2 (∵ 2-λ>0,0<λ<1)

konakon
質問者

お礼

ありがとうございます

konakon
質問者

補足

ありがとうございます D_ε={(x,y)∈R^2:ε<=x^2+y^2<=1,ε>0} ですが、結果はおなじですよね

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.2

>λは実定数で、0<λ<1に対して、 >D_ε={(x,y)∈R^3:x^2+y^2<=1} >とおくとき、 この領域の定義では添字εが領域と関係なくlim[ε→0]の極限をとる 意味を持ちません。 D_ε={(x,y)∈R^3:x^2+y^2<=ε^2,ε>0} ではないですか? であれば x=rcosθ,y=rsinθの変数変換をすると  (1/(x^2+y^2)^(λ/2))dxdy=r^(1-λ) drdθ より  lim[ε→0+]∬_D_ε(1/(x^2+y^2)^(λ/2))dxdy  =lim[ε→0+]∬_D_εr^(1-λ)drdθ  =lim[ε→0+]∫[0,2π]dθ∫[0,ε] r^(1-λ)dr  =lim[ε→0+] {2π/(2-λ)}ε^(2-λ)  =0 (∵ 2-λ>0)  ((log((x^2+y^2)^(1/2)))/((x^2+y^2)^(λ/2)))dxdy  =(log(r))r^(1-λ)drdθ より  lim[ε→0]∬_D_ε((log(x^2+y^2)^(1/2))/((x^2+y^2)^(λ/2)))dxdy  =lim[ε→0+]∬_D_ε(log(r))r^(1-λ)drdθ  =lim[ε→0+]∫[0,2π]dθ∫[0,ε] (log(r))r^(1-λ)dr  =lim[ε→0+] {2π/(2-λ)^2}{ε^(2-λ)}{(2-λ)log(ε)-1}  =lim[ε→0+] {2π/(2-λ)}{ε^(2-λ)}log(ε) -lim[ε→0+] {2π/(2-λ)^2}ε^(2-λ)  =0-0=0 (∵ 2-λ>0,0<λ<1)

konakon
質問者

お礼

ありがとうございます

konakon
質問者

補足

ありがとうございます すいません  D_ε={(x,y)∈R^2:ε<=x^2+y^2<=1} でした。 すいません

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

D_ε の定義には、きっと書き間違いがあるね。 それを訂正した上で、曲座標へ変数変換すればいい。 dx dy = r dr dθ を正しく置換して、 ∫dθ = 2π を dr についての積分から括りだせば、 ∫(rの1-λ乗)dr と ∫(log r)(rの1-λ乗)dr の 収束発散を調べる問題となる。 D_ε 上での積分を具体的に ε の式で書いてから、 ε→0 の極限を考える。 ふたつめの積分は、部分積分を使えばできるよ。

konakon
質問者

お礼

ありがとうございます

konakon
質問者

補足

ありがとうございます すいません  D_ε={(x,y)∈R^2:ε<=x^2+y^2<=1} でした。 すいません

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