構成要素が３つ以上の効用関数の最大化について

質問

一人で２時間考えたのですがどうしても理解できませんでした。
どなたかわかる方がいらしたらご教授頂きたく思います。

http://www.nies.go.jp/social/seminar/H18/pdf/mori2006.pdf

の１ページ目の
「（２）式と（３）式を制約条件として（１）式を最大化する関係式は」
の後に記入されている式が、なぜそういう式になったのかわかりません。
この式に変形？された過程を教えて頂きたいです。

周りに聞ける人がおらず、ミクロ経済学の本も見ましたが
どうしてもわかりませんでした。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

ラグランジュの未定乗数法（↓参照）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E6%9C%AA%E5%AE%9A%E4%B9%97%E6%95%B0%E6%B3%95
を使います。

(2)、(3)式を
f(W,V,L) = W + V + L - T = 0、
g(W,X,D) = Pw W - Px X - Pd D = 0
と書きます。

h = u + λ f + μ g
が極値にある条件は

∂h/∂W = ∂u/∂W + λ∂f/∂W + μ∂g/∂W
　　　　　　= ∂u/∂W + λ・1 + μ Pw
　　　　　　= 0　　　　　　　　　　　　　　（１）

∂h/∂V = ∂u/∂V + λ∂f/∂V + μ∂g/∂V
　　　　　　= ∂u/∂V + λ・1 + μ・0
　　　　　　= 0　　　　　　　　　　　　　　（２）

∂h/∂D = ∂u/∂D + λ∂f/∂D + μ∂g/∂D
　　　　　　= ∂u/∂D + λ・0 + μ・(-Pd)
　　　　　　= 0　　　　　　　　　　　　　　（３）

（２）から
λ = -∂u/∂V。　（４）

（３）から
μ = (∂u/∂D) / Pd。　（５）

（４）と（５）を（１）に代入して
∂u/∂W - ∂u/∂V + (Pw / Pd)(∂u/∂D) = 0。
これより
(∂u/∂V-∂u/∂W) / (∂u/∂D) = Pw / Pd
が得られます。

お礼

丁寧に教えて下さり、本当にありがとございます。

無知でお恥ずかしいのですが、ラグランジュの未定乗数法をまったく知らず
-okさんに教えて頂かなければ、絶対に自分では解けませんでした。
ラグランジュの未定乗数法を理解した上で
自分でも同じ過程が出せるよう頑張ってみます！

入力に手間がかかる式を丁寧に回答して下さって本当にありがとうございます。
とても助かりました。心より感謝しています。ありがとうございました。