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数学の問題
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利用する公式は、 余弦定理と正弦定理 の2つです。 (1) ACを求める。 四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°です。 ∴∠CDA=180°-∠ABC, ∠DAB=180°-∠BCD 従って、三角関数の補角の公式 cos(180°-θ)=-cosθ, sin(180°-θ)=sinθ から cos∠CDA=-cos∠ABC, cos∠DAB=-cos∠BCD ・・・・・(A) sin∠CDA=sin∠ABC ・・・・・(B) △ACDに余弦定理を用いて、与えられた値を入れていきます。 AC^2=AD^2+DC^2-2AD・DCcos∠CDA ⇔AC^2=AD^2+DC^2+2AD・DCcos∠ABC (式(A)から) AC^2=1+4+2×1×2×5/8 =15/2 ∴AC=√(15/2)=√30/2 (2) 円Oの半径Rを求める。 cos∠ABC=5/8 から sin∠ABC=√{1-(cos∠ABC)^2}=√39/8 式(B)から sin∠CDA=sin∠ABC=√39/8 △ACDに正弦定理を用いて 2R=AC/sin∠CDA 2R=(√30/2)/(√39/8) ∴R=(2/13)√130 (3) ABを求める。 △ABCに余弦定理を用いて AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC AC=2ABなので AC^2=AB^2+4AB^2-4AB^2cos∠ABC AC^2=5AB^2-4AB^2×(5/8) =(5/2)AB^2 ∴AB^2=(2/5)AC^2 =(2/5)×15/2 =3 ∴AB=√3 (4) cos∠BCDを求める。 △ABDと△CBDに余弦定理を用いて BD^2=AB^2+AD^2-2AB・AD∠DAB=BC^2+CD^2-2BC・CDcos∠BCD 分かっている値と式(A)を利用して 4+2√3cos∠BCD=16+8√3cos∠BCD ∴cos∠BCD=(2/5)√3 (5) BDを求める。 式(A)から cos∠DAB=-cos∠BCD=-(2/5)√3 (4)で使った△ABCの余弦定理の式から BD^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos∠DAB ∴BD^2=4+2√3×(2/5)√3 =32/5 ∴BD=(4/5)√10
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