次の関数の組が線形独立であることを示してください。

質問

次の関数の組が線形独立であることを示してください。

　(1) cosx, cos2x

　(2) x^2, exp(x), exp(-x)

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#121794 · ベストアンサー

丸投げするなら、少しは自分で鉛筆動かして考えろ。
(1)
任意の実数xに対して
acosx＋bcos2x=acosx＋b{2(cosx)^2-1}
=2b(cosx)^2＋acosx-b=0とする。

2b(cosx)^2＋acosx-bは2bt^2＋at-b(-1≦t≦1)の2次関数とみなせるから
(a,b)≠(0,0)だとおかしいのは分かる。

(2)
任意の実数xに対して
ax^2＋bexp(x)＋cexp(-x)=0・・・・(1)とする。
xで3階微分して
bexp(x)-cexp(-x)=0　即ち　bexp(2x)-c=0・・・・(2)となる。
(2)をもう一回さらにxで微分して
2bexp(2x)=0 を得る。このときどんな実数xに対してもexp(2x)>0よりb=0
よって(2)からb=c=0
さらにこれと合わせて(1)から任意の実数xに対してax^2=0 ⇒a=0である。
つまり(a,b,c)=(0,0,0)

回答No.4

noname#121794

No3です。
No2の言うとおり。複雑に考えて載せるんじゃなかった。
代入すればいいだけの話だった。

回答No.2

alice_44

それらの関数の線型結合を作った上で、
(1) x = 0, π を代入してみる。
(2) x = 0, 1, -1 を代入してみる。

回答No.1

Tacosan

どのようなときに関数は「線形独立」なのですか?