線形関数

質問

（１）どのような線形関数fもf(0,0) = 0を満たすことを示せ
（２）f(5,3) － f(2,3) = 9 , f(2,1) －f(2,3) = -4を満たす線形関数fを求めよ。
の二つについて聞きたいのですが・・・・・
まず（１）番目がわからないので（２）を先に解きました。
二式を筆算すると
　f(5,3) － f(2,3) = 　9
＋f(2,1) － f(2,3) = －4
　f(5,3) － f(2,1) = 13
よって
f(5,3) － f(2,1) = 13
⇔5x + 3y － (2x + y) = 13
⇔3x － 2y = 13

以上から
f(x,y) = 3x －2y － 13
（醜くてすいません。）
しかしこれだと（１）のどのような線形関数fもf(0,0) = 0を満たす条件が満たされません・・・・・。どうすればいいのでしょうか

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

どのような線形関数fもf(0,0) = 0を満たすことを示せ
って明らかですが、
何を線形関数の定義にしているのでしょうか。
f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z)
f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z)
とかでしょうか。
x=0,y=0,z=0 を代入すれば、
f(0,0)=0
ですが。
この定義から
ｆ(x,y)=ax+by
となることを示すのは結構大変ですが。
f(5,3) － f(2,1) = 13
⇔5x + 3y － (2x + y) = 13
とおけるのは　
ｆ(x,y)=ax+by
と定義しているのでしょうか。
ならば、ｘ＝０、ｙ＝０を代入すれば、明らかでしょう。
また、これを認めているなら、
f
f(2,1) －f(2,3) = -4
2a+b-(2a+3b)=-4
-2b=-4 b=2

f(5,3) － f(2,1) = 13
5a + 3b － (2a + b) = 13
3a+2b=13
b=2を代入して
a=3
f(x,y)=3x+2y

回答No.3

noname#44733

重大な間違いをしているようです。
f(5,3)の意味を分かっていない・・
f(x,y)のx=5,y=3における値のことですよ。

回答No.1

kabaokaba

「線形関数」の定義を確認すること
線型代数の基本です．
何が変数で何を求めるのかが理解できていません．

(1) f(0,0) = 0 x f(1,1) = 0

(2) 9 = f(5,3) - f(2,3) = f(3,0) = 3 x f(1,0)
よって，f(1,0)=3
-4 = f(2,1) - f(2,3) = f(0,-2) = (-2) x f(0,1)
よって，
f(0,1)=2
したがって，
f(x,y) = xf(1,0)+yf(0,1) = 3x+2y

補足

（２）は理解できました。

線形関数の定義は
x,y,Ｒ^2及び実数kに対して
f(x+y) = f(x)+f(y)
f(kx) = kf(x)
が成り立つ時にfを線形代数
ということでしょうか？

（１）
f(x,y) = xf(1,y)
x = 0のときf(0,y) = 0
f(x,y) = yf(0,1)
y = 0のときf(x,0) = 0
以上より
f(x,y) = f(0,0) = 0
これでいいのですか？？