この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

質問

この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

Q.二人で次のような賭けをした。この賭けは公平であるか？

「私が、ジャンケンに勝てば君が持っているお金の半分をもらう。もし、私が負ければ君の持っているお金の半分に相当するお金を上げます。要するに、君の持っているお金をもとにして、その半分をやり取りする。」

A.不公平

とありました。なぜ、この賭けが不公平なのかを教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

回答No.12

seahorse57

#8です。
期待値から考えると「公平」な賭けになるわけですが、
私の回答では掛金が奇数になった場合のことは考えていません。

ただこの問題の趣旨はそこではないような……奇数のときどうするかはかいてないし。
例えば
「n回この賭けをする。はじめの所持金は2^nで割りきれる金額とする」
と問題文に追加しておけばそのような面倒なことにはなりませね。

次に補足として直感的には「君」が損しそうなのに公平なわけを考えてみます。
賭けを10回する場合で考えてみます。
5回勝って5回負けると、所持金は(1.5)^5*(0.5)^5=0.23…
となり、大損の様に思えます。
でもここから一回勝つ回数が増えるごとに所持金は3倍になります。
6勝→0.71…
まだ損してますが、7勝すると所持金は最初の2倍、10勝するとなんと57倍です。
一方損するときはどんなに負けつづけても初めの所持金の分しか損しません。
これが相殺して平均すると1倍になるのです。

賭けの特徴をまとめると、
「私」の立場では「高い確率で少し得する。でも低い確率で大損する。」
「君」の立場では「損する場合が多いが、低い確率で大儲けできる。」
ので、「君」の方がギャンブル要素が強くなります。

お礼

詳しいご回答をありがとうございます。
不公平に感じるのは、こういうことだったのですね。
問題を作った側がどんな回答を期待しているのかはわかりませんが、なるほど～と思える回答を頂けたと思っています。