数学1aの確率のもんだいなのですが。

質問

数学1aの確率のもんだいなのですが。　　

A,B,Cの三人がじゃんけんをする。一回目は三人で始め、負けたものは抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが、じゃんけんの回数は最大nかいとする。このときA1人がかちのこるかくりつをもとめよ。

というもんだいがわからないです。おしえてください。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(A)3人でじゃんけんをしたとき引き分けになる確率は1/3
(B)3人でじゃんけんをしたとき2人が勝つ確率は1/3で，そのうち特定のAが勝つのは2/3だから，結局Aが勝ったうちの2人に入っているのは2/9
(C)3人でじゃんけんをしたとき2人が勝つ確率は1/3で，そのうち特定のAが勝つのは1/3だから，結局Aが勝ったうちの1人に入っているのは1/9
(D)2人でじゃんけんをしたとき引き分けになる確率は1/2
(E)2人でじゃんけんをしたとき特定のAが勝つのは1/4
以上のことをもとに，3人でn回のじゃんけんをしたとき特定のAが勝つ確率をx[n]，2人でn回のじゃんけんをしたとき特定のAが勝つ確率をy[n]とすると
x[0]=0
y[0]=0
x[n]=(1/3)*x[n-1]+(2/9)*y[n-1]+(1/9)
y[n]=(1/2)*y[n-1]+(1/4)
が成り立つ。この漸化式を解いてx[n]を求めると良い。
y[n]=(1/2)*y[n-1]+(1/4)
から
y[n]-1/2=(1/2)*(y[n-1]-1/2)=(1/2)^n*(y[0]-1/2)=(1/2)^n*(0-1/2)=-(1/2)^(n+1)
であるから
y[n]＝1/2-(1/2)^(n+1)
したがって
x[n]=(1/3)*x[n-1]+(2/9)*(1/2-(1/2)^n)+(1/9)
x[n]=(1/3)*x[n-1]+2/9-(1/9)*(1/2)^(n-1)
両辺を3^(n+1)倍して
3^(n+1)*x[n]=3^n*x[n-1]+2*3^(n-1)-(3/2)^(n-1)
3^(n+1)*x[n]が階差数列になっているので3^0*x[0]=0に注意すると
3^(n+1)*x[n]=Σ[k=1 to n](2*3^(k-1)-(3/2)^(k-1))
3^(n+1)*x[n]=Σ[k=0 to n-1](2*3^k-(3/2)^k)
等比級数の和を簡単にする
3^(n+1)*x[n]=2*(3^n-1)/(3-1)-((3/2)^n-1)/(3/2-1)
3^(n+1)*x[n]=3^n-2*(3/2)^n+1
となって，結局
x[n]=1/3-2/3*(1/2)^n+(1/3)^(n+1)
が求まる。
ちなみにnを無限大まで大きくすると，これは1/3になる。常識で考えてもじゃんけんで3人のうちの1人が勝つ確率は1/3ですね。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

simotani

先ずは確率の前に可能性を見ましょう。
じゃんけんはグーチョキパーの3通りがあります。
確率の問題ではそれぞれが1/3ずつ出されるとして計算します。
最初は3人ですから3人とも同じ場合とグーチョキパーに分かれた場合の2種類の「あいこ」と2人が勝ち1人負けのパターンと1人勝ちの場合があります。
3×3×3通りの中からあいこが何通りありますか?また1人勝ちは?2人勝ちは?
1人勝ちのパターンは此処で終了。あいこと2人勝ちが2回戦に。
以下場合分けして計算します。