ボタンを押すと得点が増える問題の確率計算方法
- 質問文章の問題は、ボタンを押すと得点が増える確率計算です。
- 最初の得点は0点で、1がでれば得点に1を足し、2が出れば得点に2を足します。
- 得点がnにならないで2nになる確率を求める問題であり、確率漸化式を使用することで解答できます。
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1がでる確率が、ｒ
1がでる確率が、ｒ 2がでる確率が、１－ｒ のボタンがあります。１がでれば、得点に１を足していき、２が出れば２を足していきます。 さて最初の得点は０点としてボタンを押していくとき、得点がnにならないで、2nになる確率は？ 最初に１、次は２、次は１がでて、４点になるパターンの確率はｒ^２（１－ｒ）です という問題を考えたのですが、いまいちわかりません。ヒントでもいいので教えていただけないでしょうか？ たとえば、得点がnになる確率をＸｎとする。 Ｘ０＝１ Ｘ１＝ｒ Ｘ２＝（１－ｒ）＋ｒ＾２ （０点から２点足される又は、０点から１点と１点足される場合なので） つまり、Ｘn+2＝rＸn+1＋(1-r)Ｘnとなる。 と確率漸化式を考えたのですが、何かいい方法ありますか？ 別に確率漸化式でなくてもかまいません
- uiaofjao
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#1です。 ＞Ｐｎ（Ｘｎ）＝（ｒ－１）＾(n+1)-1/(r-2) そうですね。括弧が分子にもいりますが ＾＾； ＞求める確立は、Ｐ２ｎ－（Ｐｎ）＾２ですか？ それでいいと思います。 n＝ 1のときが一番わかりやすい例ですね。 考え方の展開もきちんとできていると思いますよ。＾＾
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- naniwacchi
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こんばんわ。 ＞つまり、Ｘn+2＝rＸn+1＋(1-r)Ｘnとなる。 ＞と確率漸化式を考えたのですが、何かいい方法ありますか？ いや、これでＯＫですよ！ 確率漸化式なので、普通は pを使いますね。 p(n+2)＝ r* p(n+1)+ (1-r)* p(n) この漸化式は簡単に解くことができてしまいます。 特性方程式を考えれば、「あら？」って感じで一般項：p(n)が求まるはずです。 もうちょっとだと思います。＾＾
お礼
Ｐｎ（Ｘｎ）＝（ｒ－１）＾(n+1)-1/(r-2) でしょうか？
補足
特性方程式の解は確かに簡単にでますね。 １とr-1ですね。じゃあ、Ｘn(以降では、Ｐnとします)がでたと仮定して 得点がnにならないで、2nになる確率は？ を求めるには、Ｐ２ｎを出しますよね。でもこれには、 途中の得点がｎになる場合と、ならない場合を含んでいるので、ｎになる場合の確率を引かないといけないですよね。 Ｐｎを求めて、今度はｎから２ｎになる確率はnを０点とみなせば、２ｎはｎ点なので、これもＰｎ ０点からｎ点になる確率がＰｎ ｎ点から２ｎ点になる確率もＰｎ 求める確立は、Ｐ２ｎ－（Ｐｎ）＾２ ですか？
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