- ベストアンサー
確率変数
明日試験ですので、ぜひお願いします。 確率変数X1,X2,...Xnは互いに独立で、分布は P(Xi=x)＝｜ｘ｜/12 x＝－1,1,－2,2,－3,3 に従うとする。このとき lim 1/(n*n)E{f(X1+X2+...+Xn)}（ｎが無限大のとき）を求めよ。 ただし、f(x)＝ｘ＾４ (x＞＝0) ｘ＾２ （x＜0） とする。
- dabai_0111
- お礼率20% (2/10)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
起きてみると反応してましたね。 もう遅いと思いますから気楽にいきます。 Pn=E(f(X1+...+Xn))/n^2 =(E((X1+...+Xn)^4)/n^2+E((X1+...+Xn)^2)/n^2)/2 =E((X1+...+Xn)^4)/n^2/2 =E(X1^4+...+Xn^4+6E(X1^2X2^2+...))/n^2/2 =E(X1^4)/n/2+3n(n-1)E(X1^2)E(X1^2)/n^2/2 =E(X1^4)/n/2+3(1-1/n)(E(X1^2))^2/2 →3(E(X1^2))^2/2=3*6^2/2=54
その他の回答 (2)
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
項抜け修正 Pn=E(f(X1+...+Xn))/n^2 =(E((X1+...+Xn)^4)/n^2+E((X1+...+Xn)^2)/n^2)/2 =E((X1+...+Xn)^4)/n^2/2+nE(X1^2)/n^2/2 =E(X1^4+...+Xn^4+6E(X1^2X2^2+...))/n^2/2+E(X1^2)/n/2 =E(X1^4)/n/2+3n(n-1)E(X1^2)E(X1^2)/n^2/2+E(X1^2)/n/2 =E(X1^4)/n/2+3(1-1/n)(E(X1^2))^2/2+E(X1^2)/n/2 →3(E(X1^2))^2/2=3*6^2/2=54
関連するQ&A
- ベルヌーイ分布における独立な確率変数とは?
統計学の問題についてです。 【問題】 次式の確率関数f(x)をもつベルヌーイ分布に従う、 互いに独立なn個の確率変数Xi(i=1,2,…,n)がある。 以下の問に答えよ。 f(x)=｛p(x=1),1-p(x=0)｝ただし0≦p≦1 確率変数Xiの期待値と分散を求めよ。 問題を解こうとしたのですが、確率変数Xiがよくわかっていません。 ベルヌーイ分布はB(1,p)で、取りうる確率変数は0か1の2つであるのに 「互いに独立なn個の確率変数Xi(i=1,2,…,n)」について考えるというのは どういう意味なのでしょうか? 概念的なものが全然理解できていませんので、その辺りも踏まえて 回答をしていただけたらと思っています。よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 同時確率密度関数の求め方。
同時確率密度関数（joint density function)の求め方が分かりません。 X1.....Xnが独立していて、それぞれXi~Bin(n,p)になっている、 fXi(xi) = (nCxi)*P^xi(1-p)^(n-xi) この関数の、確率密度関数f(x1....xn|n,p)を求めろとのことですが,これは普通に１からｎまでの、確立を求める関数をもとめろ、といってるだけですよね？そうすると。 Πf(x1....xn|n,p) ＝(nCΣxi)P^(Σxi)(1-ｐ）^(n-Σxi) でいいんでょうか。。。これからnが分かっている場合、最尤法のpが（ｐハット）＝（x バー）/n になることを証明しなくてはなりません。。昨日から、ずっと調べたり考えたりしてても、わかりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率解析等 3
解法がわかりません f:[0,1]→Rを[0,1]上連続関数とする。また、Xi(i=1,...,n)を独立でB(1,p)に従う確率変数、つまり、P(Xi=1)=p、P(Xi=0)=1-p (0≦p≦1)とし、Sn=(X1+···+Xn)/nとおく。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 確率変数f(Sn)の期待値は多項式P_n(x)を用いてE[f(Sn)]=P_n(p)と表される。多項式P_n(x)をnとfを用いて表せ。必要ならばX1+···+XnはB(n,p)に従う確率変数であることを用いよ。 (2) 任意のε>0に対して、P(|Sn-p|≧ε)≦1/(nε^2)となることを示せ。 (3) fは有界閉集合[0,1]上の連続関数だから有界である。そこで、 sup_{x,y∈[0,1]} |f(y)-f(x)|≦M＜+∞ δ(c) =sup_{|x-y|≦c} |f(y)-f(x)| とおく。このとき、任意のc>0に対して、次の不等式を満たすことを示せ。 |E[f(Sn)]-f(p)|（=|E[f(Sn)]-f(p)|≦E|f(Sn)-f(p)|）≦δ(c)+M/(nc^2) (4) fは[0,1]上の一様連続関数だから、lim_{c→0} δ(c)=0となる。この事実を用いて、 lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)|=0 を示せ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか？
確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか？ お手数を掛けてすみませんが、教えてください。 以下が問題です、最後の部分で確率変数の定義が引っ掛かります。 「独立な確率変数の列{Xn}において、Xnの平均値をμ、分散をσ^2,(n=1,2,…) とした場合、 Yn = 1/n ?[k=1 n]Xk-μが恒等的に0に確率収束すると示せ」 1/n?[k=1 n]Xk の平均値、E(1/n ?[k=1 n]Xk)＝μ 1/n?[k=1 n]Xk の分散が、σ^2(1/n ?[k=1 n]Xk)＝σ^2/n となりますので、1/n?[k=1 n]Xkに関するチェビシェフの不等式に代入しますと、 p(|1/n ?[k=1 n]Xk-μ|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n) つまり、p(|Yn|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n) ※0<ε lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n) lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)>=1 確率の性質より lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)=1 ∴Ynは常に0以下であって、”Ynが確率変数であるならば”、恒等的に0に確率収束すると 示せるのですが… どうなのでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σの計算についてと確率の独立性について
最近，統計の勉強をしていて，混乱してわけがわからなくなっているので， 確認の意味も含め質問させてください． １． いま，データx={x1,x2,...,xn}の各xに対する確率変数をXiとする． このとき， Σ[1/p(Xi)] from i=1 to n は、 Σ[1/p(Xi)] ＝ n ・・・ ＠ となる？みたいなのですが，なぜなのでしょうか？ たとえば，n=2で，p(X1)=1/2，p(X2)=1/2としたら， Σ[1/p(Xi)]＝{1/p(X1)} + {1/p(X2)} ＝ 2 + 2 ＝ 4 となりますが，＠では，いま，n=2なのでΣ[1/p(Xi)]＝2であり，4≠2となり ＠のようになるとはいえないのではないかと混乱しています。おそらく＠は， Σ[1/p(Xi)]＝（Σ1）/（Σp(Xi)）＝ n と変形しているのだと思いますが，自分の例から＠のように変形できる訳が分かりません。 もしかしたら，自分の例がおかしいのかもしれませんが・・・。 ２． 統計学でよく，「データはi.i.dである」という仮定をおいて解析が行われています。 データが独立で同じ確率分布に従うときをi.i.d と呼ぶと記憶しているのですが， 「独立である」という項目は，なぜ条件として必要なのでしょうか？ 独立というと，私は，P(x1,x2)＝P(x1)*P(x2) とできるということしか知らないので， データの独立性がないと計算が大変になるだろうという風にしかみれないのですが， データをばらばらに取り出す（独立？）場合と一度にまとめて取り出す（独立でない？）場合が解析に何の影響を及ぼすのでしょうか？ 式は覚えていてもそれ自体が何の意味をもつのかがまったく分かっていないので、意味合いを教えていただきたいです。 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率変数の問題です。
確率変数X1,X2,…,Xnが独立に同一の成功の確率pをもつベルヌイ分布に従うとき 1）n=5,X1=1,X2=0,X3=0,X4=1,X5=1であるとき、pの推定値を1つ挙げ、その理由も述べよ。 2）尤度関数を構成し、それを最大化することによって、再尤推定量を計算せよ。 3）上と同様にしてV(Xi)の最尤推定量を求めよ。また、この推定量が不偏推定量定数かそうでないかを調べよ。 上記の3題についてなのですが、ベルヌイ分布はXを確率pで値1をとり、確率q=1-pで値0をとる確率変数ということはわかるのですが実際に数値で出された場合はどのように示せばよいのでしょうか？ また2）3）については全く解答の見当がつきません。 尤度関数というのは何でしょうか？確率統計のテキストにはのっていません。ネットで調べましたがイマイチよくわかりません。 解法、考え方等教えていただきたいのですがどなたかお力を貸していただけないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベルヌーイ分布の質問です。
確率変数X1,X2,…,Xnが独立に同一の成功の確率Pを持つベルヌイ分布に従うときV(Xi) = P(1-P) の最尤推定量 が (ΣXi / n) (1 - (ΣXi / n) ) になる理由を教えていただきたいのですが。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の統計学です 確率母関数、ベルヌーイ分布、モーメント母関数
明日試験なのですが、勉強不足で全然わかりません・・・・ ・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算せよ ・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算せよ ・X1,X2....Xnを互いに独立でベルヌーイ分布に従うn個の確率変数とするとき、Sn=X1+X2+...+Xnの分布が2項分布となることを示せ またSn/nの平均値と分散を求めよ ・指数分布Exp(θ)のモーメント母関数、平均値（期待値）、分散を計算せよ ・2回のサイコロ投げにおいて、Xを最初の目、Yを2回目の目とするとき、Z=X+Y,W=X-Yとおく (1)ZとWの平均値を求めよ(2)ZとWの分散をもとめよ(c)ZとWの共分散を 求めよ ・X1,X2....Xnを互いに独立で同一の分布に従う確率変数とする。 E(Xi)=μ、V(Xi)=σ^2、i=1,....,nとしX1,X2....Xnの標本平均をZ=1/n(X1,X2....Xn)とおく。 E(Z)とV(Z)を計算せよ わかる方教えていただけたら嬉しいです!!!! よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 統計学での確率変数Xと観測値xの使い分けについて
全く別物だと思うのですが、理解できなくて質問いたします。 確率変数Xは、その値をとる確率が決まっている変数であり、 観測値xは、ただ実際に出現した値、であることは理解しています。 確率密度関数では横軸が確率変数であり、Pr(X)の値が縦軸である、というのがわかりやすかったです(以下ブログを参考)。 https://bellcurve.jp/statistics/blog/14006.html １）しかし、この考えでは次のブログのことを理解できませんでした。 http://igakubugakushi.com/ctl1/ 互いに独立であり、同一分布に従う確率変数X1、、、Xnとあります。１つの確率密度関数には、複数の観測値xを決まった確率で取りうる確率変数Xが１つある理解でした。１つの確率密度関数に複数の独立の確率変数があるというのはどういうことでしょうか。 ２） また、同じブログの「母集団が正規分布だった場合」 http://igakubugakushi.com/interval-estimation1/ X1～N(μ、σ²） ： Xn～N(μ、σ²）とすると、正規分布の再生性により、 x1～＋xn～N（ｎμ,nσ²） よって、x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/2） との記述があります。複数の確率密度関数が同じ正規分布に従っている、のは一先ずおいておくとして、そのあとの正規分布を再生する観測値x1～xnは、どの確率分布から出てきたものなのでしょうか？ ３）また、２）で出てきた、x1～＋xn～N（ｎμ,nσ²） → x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/2） になるのはなぜでしょうか？x⁻～N（μ、σ²）ではないですか？（ｎで全てを割るのであれば） ただのブログの書き間違えなのか、私がよくわかっていないのかわからず、解説いただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
試験前教えていただいて、ありがとうございます。