ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2に対し，ω1^n

質問

ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2に対し，ω1^n+ω2^n(ｎ∈Z)を求めよ。
どうやって解けばいいのかわからないので教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

|ω1|=|ω2|=1,ω1=e^(i2π/3),ω2=e^(-i2π/3)
ω1+ω2=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
ω1^2+ω2^2=e^(i4π/3)+e^(-i4π/3)=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1
ω1^3+ω2^3=e^(i6π/3)+e^(-i6π/3)=e^(i2π)+e^(-i2π)=1+1=2
ω1^4+ω2^4=e^(i8π/3)+e^(-i8π/3)=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
…
ω1^n+ω2^n=e^(i2nπ/3)+e^(-i2nπ/3)
mを正整数として
n=3m-2のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-4)π/3)+e^(-i(6m-4)π/3)
=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=ω1+ω2=-1

n=3m-1のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-2)π/3)+e^(-i(6m-2)π/3)
=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=e^(i6mπ/3)+e^(-i6mπ/3)=1+1=2

以上をまとめると

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=2
n≠3mのとき
ω1^n+ω2^n=-1
ここで、mは1以上の任意の正整数（自然数）です。

（参考）単位円を考えると分かりやすいと思います。

補足

ありがとうございます。最初から，難しいですね。
ちょっと，みながら，ゆっくり，勉強してみるので，また，分からなかったら教えてください。

回答No.5

pascal3

> ω1^n+ω2^n(ｎ∈Z)を求めよ。
これは、n = 0, ±1, ±2, ... に対して求めろっていう問題なのだから
（あなたが掲示板に書き込んでいる問題のほとんどはそう。 出題者の誘導を無にするな！）
問題を出した人の気持ちにあなたが応えるつもりが少しでもあるならば、
「どうやって解けばいいのかわからない」などと書く前に、自分で一歩ずつ順番に計算していくべきなのです。

とりあえず n がマイナスのときは棚上げしておきましょうか。

「n = 0 のときはこうなる」
「n = 1 のときはこうなる」
「n = 2 のときはこうなる」
「n = 3 のときはこうなる」

頑張って計算していると、そのうち、一般のnに対するパターンが予想できるはずです。
その予想ができた段階で質問するんだったらいいですが、そこまでたどり着く前に掲示板に丸投げしてしまうのは、あなたの先生に対してものすごく失礼なことをしているのですよ。 そこをしっかり考えてから質問するようにしてください。

回答No.4

info22_

#1です。

>ω1^3=ω2^3=1
>ω1+ω2=-1
>ω1ω2=1
>これは，計算すると出てくるんですよね。

計算でも出ますが、単位円を描いてω1、ω2がその円周上の点であることから、|ω1|=|ω2|=1はすぐ出てきます。偏角もベクトル和や積を考えればすぐ分かることです。

回答No.3

spring135

ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2は1の3乗根だということを記憶しましょう。
一般に1のｎ乗根はｎ個あって、e^(i(2πk/n))(k=1,2,...n)です。複素平面でX＝1から半径1の円上を2π/nづつ反時計回りに回転していった時の複素数です。
n=3の場合、ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2が以上の議論に矛盾しないことを確認してください。

回答No.2

nag0720

ω1^3=ω2^3=1
ω1+ω2=-1
ω1ω2=1
を利用すれば、

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m)+ω2^(3m)=1+1=2
n=3m+1のとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m+1)+ω2^(3m+1)=ω1+ω2=-1
n=3m+2のとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m+2)+ω2^(3m+2)=ω1^2+ω2^2=(ω1+ω2)^2-2ω1ω2=-1

補足

ω1^3=ω2^3=1
ω1+ω2=-1
ω1ω2=1
これは，計算すると出てくるんですよね。