(1) （1-i）＾ｎ，（ｓｑｒｔ（３）-i）＾ｎを整数ｎ≧０に対して

質問

(1)　（1-i）＾ｎ，（ｓｑｒｔ（３）-i）＾ｎを整数ｎ≧０に対して計算せよ。一般のｎで，どのようにかけるのか説明せよ。

(2)　ω＝cos（２π/３）＋i＊sin（２π/３）のとき，（１＋ω）＾ｎを整数ｎ≧０に対し計算し，一般のｎでどうなるのか理由を説明せよ。

この2つを証明したいのですが分からないので教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。
>解答を書いてくれていたので，それに近くなるまで，なんとか分かるようになって来ました。
A#2の補足のその先はやってみましたか？

(1)
（前半）
>1-i={2^(1/2)}e^(-iπ/4)
>絶対値は2^(1/2)=√2 ⇒ n乗する。
>位相（偏角）は -π/4　⇒　n倍する。

(1-i)^n={2^(n/2)} e^(-i nπ/4)
mを任意の整数として

n=8mの場合 e^(-i nπ/4)=1なので
　(1-i)^n={2^(n/2)}
n=8m+1の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-iπ/4)=(1-i)/√2 なので
　(1-i)^n={2^((n-1)/2)} (1-i)
n=8m-1の場合 e^(i nπ/4)=e^(iπ/4)=(1+i)/√2 なので
　(1-i)^n={2^((n-1)/2)} (1+i)
n=8m+2の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-iπ/2)=-i なので
　(1-i)^n=-i {2^(n/2)}
n=8m-2の場合 e^(i nπ/4)=e^(iπ/2)= i なので
　(1-i)^n=i {2^(n/2)}
n=8m+3の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-i 3π/4)=-(1+i)/√2 なので
　(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)} (1+i)
n=8m-3の場合 e^(i nπ/4)=e^(i 3π/4)=(-1+i)/√2 なので
　(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)} (1-i)
n=8m+4の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-i π)=-1 なので
　(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)}

（後半）
>√3-i=2e^(-iπ/6)
>絶対値は 2 ⇒ n乗する。
>位相（偏角）は -π/6　⇒　n倍する。

(√3-i)^n=(2^n) e^(-i nπ/6)
mを任意の整数として

n=12mの場合 e^(-i nπ/6)=1なので
　(√3-i)^n=(2^n)
n=12m+1の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i π/6)=(√3-i )/2 なので
　(√3-i)^n={ 2^(n-1)} (√3-i)
n=12m-1の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/6)=(√3+i )/2 なので
　(√3-i)^n={2^(n-1)} (√3+i)
n=12m+2の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-iπ/3)=(1-i √3)/2 なので
　(√3-i)^n= {2^(n-1)} (1-i √3)
n=12m-2の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/3)=(1+i √3)/2 なので
　(√3-i )^n={2^(n-1)} (1+i √3)
n=12m+3 の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-iπ/2)= -i なので
　(√3-i)^n= -i (2^n)
n=12m-3の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/2)= i なので
　(√3-i )^n=i (2^n)
n=12m+4の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i 2π/3)=-(1+i √3)/2 なので
　(√3-i)^n= -{ 2^(n-1)} (1+i √3)
n=12m-4の場合 e^(i nπ/6)=e^( i 2π/3)=(-1+i √3)/2 なので
　(√3-i )^n={2^(n-1)} (-1+i √3)
n=12m+5の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i 5π/6)=-(√3+i )/2 なので
　(√3-i)^n=-{ 2^(n-1)} (√3+i)
n=12m-5の場合 e^(i nπ/6)=e^( i 5π/6)=(-√3+i )/2 なので
　(√3-i)^n={2^(n-1)} (-√3+i)
n=12m+6の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i π)=-1 なので
　(√3-i)^n=-( 2^n)
となります。

(2）
>(1+ω)^n=e^(i2nπ/3)=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
nを任意整数としてこのままでも答えになりますが、

nで場合分けすれば
mを任意整数として
n=3mの場合
　(1+ω)^n=1
n=3m+1の場合
　(1+ω)^n=(-1+i √3)/2
n=3m-1の場合
　(1+ω)^n=-(1+i √3)/2　
となります。

回答No.2

info22_

>この2つを証明したいのですが
証明問題ではありませんね。単なる計算問題でしょう。

ヒント）
n乗前の項を絶対値と位相項に分けて、絶対値はn乗、位相項（絶対値=1）はn倍するだけ。単位円を描いて考えれば位相項のn乗は位相（偏角）をn倍するだけで良いでしょう。
オイラーの公式「e^(iθ)=cosθ+isinθ」を使えば単位円での位相項(偏角)とcos、sinの変換が簡単に出来、計算に役立つかと思います。

(1)
1-i={2^(1/2)}e^(-iπ/4)
絶対値は2^(1/2)=√2 ⇒ n乗する。
位相（偏角）は -π/4　⇒　n倍する。

√3-i=2e^(-iπ/6)
絶対値は 2 ⇒ n乗する。
位相（偏角）は -π/6　⇒　n倍する。

(2)
ω=e^(i2π/3),ω^2=e^(i4π/3)=e^(-i2π/3),ω^3=1
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
ω≠1　⇒　ω^2+ω+1=0　⇒ ω+1=-ω^2=e^(i2π/3)

(1+ω)^n=e^(i2nπ/3)=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
となるかと。

なぜこのように計算できるかは自分で良く考えて下さい。

お礼

ありがとうございます。色々，公式などを見直してみて，分かるようになってきました。
ちょっと，苦労をしましたが,info22さんが，解答を書いてくれていたので，それに近くなるまで，なんとか分かるようになって来ました。

回答No.1

sanori

こんにちは。

（１）の１
１－ｉ　の絶対値は、
｜１－ｉ｜　＝　√（１^2＋１^2）　＝　√２
よって、
１－ｉ　＝　√２・（１／√２　－　ｉ／√２）
　＝　√２・（cos（－π／４）　－　ｉsin（－π／４））
　＝　√２・ｅ^(-iπ/4)

よって、
（１－ｉ）^n　＝　（√２）^n・（ｅ^(-iπ/4)）^n
　＝　２^(n/2)・ｅ^(-inπ/4)
　＝　２^(n/2)・{cos(-nπ/4) ＋ ｉsin(-nπ/4)}
　＝　２^(n/2)・{cos(nπ/4) － ｉsin(nπ/4)}

こんな感じでやると、残りも解けます。

お礼

ありがとうございます。色々，公式などを見直してみて，分かるようになってきました。
計算途中まで書いていただいて大変ありがたかったです。