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確率公式の式変形が。P(∪[i=1..n]C(i))=Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i,j=1..n, i<j]P(C(i)∩C(j))+
確率の公式の証明です。 P(∪[i=1..n]C(i))=Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i,j=1..n, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n]C(i))…(*) 帰納法でi=3の時 P(C(1)∪C(2)∪C(3))=P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(3))は明らかに成立。 i=n-1(n>3)の時,(*)式成立と仮定すると (見やすいようにD:=∪[i=1..n-1]C(i)と置くと) P(D∪C(n))=P(D)+P(C(n))-P(D∩C(n)) =Σ[i=1..n-1]P(C(i))+Σ[i,j=1,2,…,n-1, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n-1]C(i))+P(C(n))-P(∪[i=1..n-1]C(i)∩C(n)) =Σ[i=1..n]P(C(i))+Σ[i,j=1,2,…,n-1, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n-1]C(i))-P(∪[i=1..n-1]C(i)∩C(n)) から(*)式に辿り着けません。 どう変形すればいいのでしょうか?
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(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。 n=4のとき P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4)) = P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4)) -P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4)) +P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4)) -P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4)) というのは理解されていますか？ 正しくは、 P(∪[i=1..n]C(i)) = Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)) -Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i)) となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も１つずつ増えます。 証明の方針はあっていますよ。
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お礼
ご回答誠に感謝致します。 > というのは理解されていますか？ あ゛、勘違いしてました。 > 正しくは、 > P(∪[i=1..n]C(i)) > = Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, > i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)) > -Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, > i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i)) > となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も１つずつ増えます。 納得です。 > 証明の方針はあっていますよ。 有難うございます。お陰様で無事証明できました。