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点の移動 確率漸化式?
「座標平面上に4点 A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Qが1秒ごとに1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに点Qはx軸平行な方向の移動について確率p、y軸と平行な方向の移動について確率1-pで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、n秒後に頂点A、Cにいる確率をA_n、C_nとする。A_n、C_nを求めよ」 確率漸化式の問題だと思い、漸化式をn-1秒後とn秒の関係に注目しながら解こうとしているのですが、式がたくさんできてわけがわからなくなりました。 頂点B、Dにいる確率をB_n、D_nとして、 A_n+1=(1-p)B_n+pD_n B_n+1=(1-p)A_n+pC_n C_n+1=(1-p)D_n+pB_n D_n+1=(1-p)C_n+pA_n この4式から題意のA_nとC_nを求めることは可能なのでしょうか?なんだかうまくできませんでした。 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- cyvyc
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題意からnが奇数の時にはA,Cには点Qはいません。 だから書かれた式は厳密に言うと間違っています。 A_2m+2=(1-p)B_2m+1+pD_2m+1 C_2m+2=(1-p)D_2m+1+pB_2m+1 B_2m+1=(1-p)A_2m+pC_2m D_2m+1=(1-p)C_2m+pA_2m また、A_2m+C_2m=1 です。(ほかに行くとこないですから) よって A_2m+2=(1-p){(1-p)A_2m+pC_2m}+p{(1-p)C_2m+pA_2m} ={(1-p)^2+p^2}A_2m+2p(1-p)C_2m =(1-2p+2p^2)A_2m+(2p-2p^2)C_2m =(1-2p+2p^2)A_2m+(2p-2p^2)(1-A_2m) =2p(1-p)+(1-4p+4p^2)A_2m =2p(1-p)+(1-2p)^2*A_2m A_2m+2-1/2=(1-2p)^2(A_2m-1/2) n=2mの時 A_n=1/2*(1-2p)^n+1/2 n=2m+1の時 A_n=0 C_nも分かりますね。 と書いていたら#1さんが先に書いてましたね。 しかも、あちらの方がスマートだ。 一応、回答しておきます。答えは一緒ですが。。。
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- at06
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初期条件は A_0 = 1, B_0 = C_0 = D_0 = 0 1つ目の式と3つ目の式を足すと、 A_n+1 + C_n+1 = B_n + D_n 2つ目の式と4つ目の式を足すと、 B_n+1 + D_n+1 = A_n + C_n ∴A_n+2 + C_n+2 = A_n + C_n 奇数秒後にAやCに来る確率は0なので A_2n + C_2n = 1 …(1) A_2n-1 + C_2n-1 = 0 …(2) 1つ目の式から3つ目の式を引くと、 A_n+1 - C_n+1 = (1-2p)(B_n - D_n) 2つ目の式から4つ目の式を引くと、 B_n+1 - D_n+1 = (1-2p)(A_n - C_n) ∴A_n+2 - C_n+2 = (A_n - C_n)(1-2p)^2 奇数秒後にAやCに来る確率は0なので A_2n - C_2n = (1-2p)^(2n) …(3) A_2n-1 - C_2n-1 = 0 …(4) (1)と(3)から A_2n = 1/2 + 1/2 (1-2p)^(2n) C_2n = 1/2 - 1/2 (1-2p)^(2n) (2)と(4)から A_2n-1 = C_2n-1 = 0
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