確率漸化式の問題です

質問

座標平面上に４点Ａ（0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Ｑが１秒ごとに１つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Ｑは、ｘ軸と平行な方向に移動する確率ｐ、ｙ軸と平行な方向に移動する確率１－ｐで移動しているものとする。最初に点Ｑが頂点Ａにいたとするとき、ｎ秒後に頂点Ａ、Ｃにいる確率をそれぞれa_n、c_nとする。
a_n、c_nを求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

n秒後にB,Dにいる確率をそれぞれb_n,d_nとします．

頂点Iにいるとき1秒後に頂点Jへ移動する確率をP_{IJ}とかくと，

P_{AD}=p,P_{AB}=1-p
P_{BC}=p,P_{BA}=1-p
P_{CB}=p,P_{CD}=1-p
P_{DA}=p,P_{DC}=1-p

となります．これに注意すると次の漸化式が成り立ちます．

(1)a_{n+1}=pd_n+(1-p)b_n
(2)b_{n+1}=pc_n+(1-p)a_n
(3)c_{n+1}=pb_n+(1-p)d_n
(4)d_{n+1}=pa_n+(1-p)c_n

また，初期条件は

a_0=1,b_0=c_0=c_0=0

となります．

まず，(1)±(3)より

(5)a_{n+1}+c_{n+1}=b_n+d_n
(6)a_{n+1}-c_{n+1}=(1-2p)(b_n-d_n)

(2)±(4)より

(7)b_{n+1}+d_{n+1}=a_n+c_n
(8)b_{n+1}-d_{n+1}=(1-2p)(a_n-c_n)

(5)(7)より

a_{n+2}+c{n+2}=b_{n+1}+d_{n+1}=a_n+c_n

(6)(8)より

a_{n+2}-c_{n+2}=(1-2p)(b_{n+1}-d_{n+1})=(1-2p)^2(a_n-c_n)

m=0,1,2,・・・として

n=2mのとき

a_{2(m+1)}+c{2(m+1)}=a_{2m}+c_{2m}∴a_{2m}+c_{2m}=a_0+c_0=1
a_{2(m+1)}-c{2(m+1)}=(1-2p)^2(a_{2m}-c_{2m})∴a_{2m}-c_{2m}=(1-2p)^{2m}(a_0-c_0)=(1-2p)^{2m}

すわわち

a_{2m}=(1+(1-2p)^{2m})/2
c_{2m}=(1-(1-2p)^{2m})/2

n=2m+1のとき

a_{2(m+1)+1}+c{2(m+1)+1}=a_{2m+1}+c_{2m+1}∴a_{2m+1}+c_{2m+1}=a_1+c_1=0

a_n,b_nは確率だからa_n≧0,b_n≧0であるから，

a_{2m+1}=c_{2m+1}=0

結果をまとめると，

n=0,2,4,・・・(偶数)のとき

a_n={1+(1-2p)^n}/2(n=0,2,4,・・・)
c_n={1-(1-2p)^n}/2(n=0,2,4,・・・)

n=1,3,5,・・・(奇数）のとき

a_n=c_n=0

となります．