grad(a・b) = (a・∇)b+(b・∇)a+bx(∇xa) +

質問

grad(a・b) = (a・∇)b+(b・∇)a+bx(∇xa) + ax(∇xb)

という公式を証明したいのですが、計算が合いません。

grad(a・b) = ∂i aj bj = (∇・a)b + (∇・b)a

ax(∇xb) = ∈ijk aj ∈klm ∂l bm = ∈kij ∈klm aj ∂l bm = (δilδjm - δimδjl)aj ∂l bm
=∇(a・b) - b(a・∇)
ax(∇xb) = ∇(a・b) - a(b・∇)

となって、結局a(b・∇)などが打ち消し合って
右辺＝2∇(a・b)＝2grad(a・b)
となってしまい、計算が合いません。
これはどこで間違えているのでしょうか・・？

回答No.1

eatern27

>∂i aj bj = (∇・a)b + (∇・b)a
> (δilδjm - δimδjl)aj ∂l bm=∇(a・b) - b(a・∇)
この２箇所が間違ってますね。

前者はアインシュタインの規約を使わずに具体的に書き出せば間違いが分かるはず。
後者は∇(or ∂)が微分演算子である事を忘れて変形しているのが原因。

※ついでに、∈ではなくε(イプシロン)です。