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レビ・チビタの記号について

レビ・チビタの記号で、アインシュタインの約束に従って計算するとき、ε(ijk)ε(ilm)=δ(jl)δ(km)-δ((jm)δ(kl) となるところが分かりません。できればわかりやすく教えてください。

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  • Akira_Oji
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回答No.1

左辺を見ると2つのレビ・チビタの記号の積で、i が2つあります。右辺では2つの項からなっており、それぞれの項が2つのクロネッカーの因子でできていますが i がありません。 左辺ではi が2つありますので i について和をとります。(3Dの場合は1から3まで。) それ以外の j、 k、 l、 mは固定したある数になっています。例えば、j=1、 k=2、 l=1、 m=2とすれば、 ε(i12)ε(i12)=δ(11)δ(22)-δ(12)δ(12)  となっていますが、右辺はすでに値がかくていしています。すなわち、 δ(11)δ(22)-δ(12)δ(12) =1・1-0・0=1 それで左辺はどうかというとiについて和をとるので、1から3まで iを変えながら ε(i12)ε(i12) =ε(112)ε(112)+ε(212)ε(212)+ε(312)ε(312) =0・0+0・0+1・1=1 となっています。証明にはなっていませんが、いろいろのそれ以外の j、 k、 l、 mで試してまず左右があっているか確かめてください。まず、使い方に慣れることがだいじ。証明はその後ですね。

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その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

No.1 が、十分証明になっています。 同様に、(j,k,l,m) の全ての組み合わせ 36 通りについて確認すれば良いのです。 一覧表にしてしまうと簡明かと思います。 蛇足ですが、アインシュタイン記法を使うなら、 添字の上付き下付きは区別しないと いけないでしょう。

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