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n^321-1が10の整数倍となるような1000以下の正の整数nの個数
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おはようございます。 ぱっと見た感じ、突拍子もない問題に見えますが少し落ち着いて考えると方針が見えてきます。 「10の整数倍」になるということは、一の位が「0」になるということですね。 ということは、n^321の一の位が「1」になるような nを探せばよいことになります。 まず、小さい数で考えてみると、 (1) n= 1は、明らかにこの条件を満たします。 (2) nが偶数の場合は、一の位が「1」になることはありません。 (3) n= 3のときは、 3^1= 3、3^2= 9、3^3= 27、3^4= 81、3^5= 243・・・ となり、一の位だけみれば 3→ 9→ 7→ 1→ 3→(以下繰り返し)となっていることがわかります。 一の位が「1」になるのは、(4の倍数+1)乗したときとなります。 321乗は、まさしく(4の倍数+1)乗ですから、n= 3のときには条件が満たされることがわかります。 以下、同じようなことを n= 7, 9についても調べます。 (1)のことをよく考えると、 11や 21、31・・・などの一の位が「1」となっている数は、すべて条件を満たしていることになります。 あとは、このような数が 1000以下でいくつあるかを勘定することになります。 ここまでくれば、倍数の個数の問題になってきますね。^^
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- tsuyoshi2004
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問題の丸投げはまずいでしょ・・・・ なので、ヒントだけを >n^321-1が10の整数倍 n^321の下一桁が1になるということです。 掛け算の下一桁は掛けた数字それぞれの下一桁で決まります。 当然、下一桁が1ということは奇数なので偶数の321乗は該当しないし、5の倍数でもないので下一桁が5や0の321乗は該当しません。 従って、検討する必要があるのは下一桁が1,3,7,9だけです。 1は何乗しても下一桁はずっと1のままです。 3は3,9,7,1,3,9,7,1・・・・・と 7は7,9,3,1,7,9,3,1・・・・・と 9は9,1,9,1,9,1,9,1・・・・・と下一桁は循環します。 あとはご自身で考えてください。
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皆様回答ありがとうございました。
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