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{9^(n+1)-8n-9}/64になる証明
{9^(n+1)-8n-9} (n=正の整数) という数字が64で割れることを二項定理を使って証明したいのですが、分かりません。 自分でやってみたところ、 (1+8)^n=…… ↓ 9^n-8n-1=64k ↓ 9^(n+1)-8n*9-9=64k*9 というところまで、できましたが次何すればいいのかわかりません。 回答お願いします。
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- Tacosan
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#1 同様, (1+8)^n=…… ↓ 9^n-8n-1=64k ↓ 9^(n+1)-8n*9-9=64k*9 がどういう方針なのか見えない. 特に最初の式の右辺が「……」と隠されているために何をどうしたいのかがさっぱりわからない. ここがきちんと見える形で書いてあって, (それが正しいとして) その下の式につながるのであればそこから先は簡単じゃないの? 両辺に 64n を加えれば終わりだよね.
お礼
回答ありがとうございます。 両辺に64nを加えると 9^(n+1)-8n-9=64k*9+64n になりました。 ここから、 9^(n+1)-8n-9=64k この式にどうやって変換するんですか？
- hugen
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9^(n+1)-8n-8n*8-9=64k*9
お礼
なるほど、なんとなくわかってきました
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>{9^(n+1)-8n-9} (n=正の整数) >自分でやってみたところ、 >(1+8)^n=…… >↓ >9^n-8n-1=64k どういう方針で何をしようとしているのか分からない。 n=1の時 {9^(n+1)-8n-9}=81-8-9=64 64で割り切れる。 n≧2の時 {9^(n+1)-8n-9}=(1+8)^(n+1)-8n-9 ←2項定理で展開 =1+8(n+1)+64{Σ[m=2,n]mC(n+1)*8^(m-2)}-8n-9 =64{Σ[m=2,n]mC(n+1)*8^(m-2)} ここで mC(n+1)=(n+1)!/{m!(n+1-m)!} 中括弧{ } 内は正の整数になるから与式は64で割り切れる。 以上から正の整数nに対して与式が64で割り切れることが証明できた。
お礼
説明不足ですいません。 あと、Σはまだ習ってないので、その説明分かりません（汗 回答ありがとうございます
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理解できました。ありがとうございます。