領域についての問題がわかりません．

質問

領域についての問題がわかりません．
「x＾2+y＾2≦1のとき，xyがとる値の範囲を求めよ．」という問題がわかりません．
(1)-√2≦x+y≦√2まではわかっています．
xy=(x+y)＾2-(x＾2+y＾2)
(1)より0≦(x+y)＾2≦2
ここから先，どうすれば答えが出るのですか？

回答No.6

fef · ベストアンサー

回答2への補足でいただいた質問に回答します．

> x y = k の図形は反比例みたいな図形になるのですが，
> その後どうすればいいのですか

いま，問題で与えられた
　x^2 + y^2 <= 1
という条件を満たす点は，
原点を中心とし，半径が 1 の円の周上と内側に存在します．

方程式
　x y = k
から描かれる曲線がこの領域と交わっていれば，
交点の (x, y) を用いることで，そのときの k の値が実現できるのでしたね．
（「図形と式」の単元で，このアイデアは非常に重要ですよ．）
そこで，曲線と領域が交わりをもつような範囲を，グラフを用いて調べていきます．

まず，k の値が 0 より大きいとき・ 0 のとき・ 0 より小さいときで
グラフの形が変わってくるので，
これら三つに場合わけして考えます．

k の値が 0 より大きいときですと，
反比例を表す曲線が第1象限と第3象限に描かれるのでしたね．
そして，k の値を大きくしていくにつれ，曲線は原点から離れていくのでしたね．
それでは，k の値を大きくしていき，
ぎりぎり領域と反比例曲線が交わりをもつような状況，
つまり，それより少しでも k の値を大きくすると交わりをもたなくなる状況とは，
どのような状況でしょうか？
　・
　・
　・
反比例曲線が円に接するときですよね．

したがって，k の最大値はそのときの k の値となります．
図からこのときの (x, y) の値がわかるので，
それを式
　x y = k
に代入すれば，k の最大値，すなわち x y の最大値が求まり，
x y がとる値の範囲は，正の部分に関しては，
0 から その値までであるとわかります．

k の値が 0 より小さいときも同様に処理すれば，
x y が小さい方にどこまで値をとるかが求まります．
また，k の値が 0 のときも，
曲線
　x y = k
と領域は交わるので，式 x y は値として 0 もとります．
（まあ，これはグラフを描くまでもなく，明らかですね．）

以上をまとめれば，式 x y の値域が完全に求まったことになります．

お礼

ありがとうございます．
反比例の図形が円に接しているときをもとめればいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.7

yokkun831

>円 x^2 + y^2 = 1 の内部領域と双曲線 y = a/x が共有点をもつ条件を調べた後どうすればいいのですか？

両者を連立方程式と考えるとき，解をもつaの範囲を求めれば，それがa=xyの範囲を求めたことになるわけです。yまたはxを消去した結果は二次方程式となりますから，判別式≧0としてもいいわけですね。図形的には接するときのa=±1/2はすぐにわかりますから，a=xyの範囲はその間であることが確認できると思います。

お礼

ありがとうございます．
文字を一つ消去して判別式で接点を求めればいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.5

alice_44

誤字訂正 :
xy ≦ ( 2 - 0 )/4

回答No.4

alice_44

xy を x+y と x~2+y~2 で表す替わりに、
x+y と x-y で表してみては、どうでしょう。
xy = ( (x+y)~2 - (x-y)~2 )/4 です。

-√2 ≦ x+y ≦ √2 が解ったのなら、
-√2 ≦ x-y ≦ √2 も解りますね。
求め方は同じだから。

したがって、
(x+y)~2 ≦ 2 等号成立は x+y = ±√2 のとき、
(x-y)~2 ≧ 0 等号成立は x-y = 0 のとき。

これを先の式へ入れて、xy ≧ ( 2 - 0 )/4
等号成立は x+y = ±√2 かつ x-y = 0 です。

等号成立条件を満たす x,y が存在する
ことを確認して、完了。

回答No.3

fef

先ほどの私の回答で
　x y = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)
の部分は，
　x y = ((x + y)^2 - (x^2 + y^2)) / 2
と読み替えてください．

回答No.2

fef

この問題の場合，値の範囲を求めるときに
　x y = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)
のような変形はあまり意味がありません．

範囲の上限を調べるために右辺の最大値を求めようと思っても，
右辺の各項を個別に最大化することはできないからです．
つまり，第1項 (x + y)^2 の値を最大にする x, y を選ぶと，
それによって第2項 -(x^2 + y^2) の値は決まってしまい，
さらに第2項も大きくなるように変数を動かすということができないからです．
たとい第1項の値が大きくとも，第2項の値が小さければ，
全体としては小さくなるかもしれません．
（もちろん，運良く両方が最大になることもありますが．）

例えば，
　f(x) = x + 1/x
を最大化する問題を考えてみましょう．
第1項 x を大きくしようとすると，第2項は小さくなってしまいますよね．

おっしゃる
　x y = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)
のような変形は，
問題が「x^2 + y^2 = 1のとき・・・」というものであれば有効です．

さて，それでは，このような問題ではどうすればよいか．
(1)が導けたのでしたら，図形を用いて範囲を調べる方法はご存じなのですよね．
その方法をこちらでも使用しましょう．
すなわち，文字 k などを用いて
　x y = k
とおき，この方程式が表す図形を考えましょう．

補足

ありがとうございます．
xy=kの図形は反比例みたいな図形になるのですが，その後どうすればいいのですか？
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

yokkun831

(1) 極座標を使ってみてはいかがですか？

x = r cos θ
y = r sin θ

x^2 + y^2 = r^2 ≦ 1　∴ r ≦ 1

xy = r^2 sin θ cos θ = r^2/2 sin 2θ

以上より，

-1/2 ≦ xy ≦ 1/2

(2) 円 x^2 + y^2 = 1 の内部領域と双曲線 y = a/x が共有点をもつ条件を考えてもよいと思います。-1/2 ≦ a ≦ 1/2 は容易に出てきますね？

補足

ありがとうございます．
円 x^2 + y^2 = 1 の内部領域と双曲線 y = a/x が共有点をもつ条件を調べた後どうすればいいのですか？
接している条件を探せばいいのですか？理由もお願いします．