- 締切済み
数学の証明の質問です。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 証明問題がわかりません。
関数u=1/r,ただし、r=(x^2+y^2+z^2)^0.5が下記の方程式を満たすことを証明せよ。 ∂^2 u/∂x^2 + ∂^2 u/∂y^2 + ∂^2 u/∂z^2 = 0 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 連続の証明についての質問
f(x)=x^3がＲで連続であることの証明は ∀y∈Rに対して、∀ε>0,∃δ>0,|x-y|<δ⇒|x^3 - y^3|<εをいえばよい ので、証明は （証明） δ = min{ε/(2|y|+1)^2，1} とおき、|x-y|<δとすれば、 |x^3-y^3|=|(x-y)|*|(x^2+xy+y^2)|≦|(x-y)|*(|x^2|+|xy|+|y^2|) ＜δ*(|x|+|y|)^2＜δ*(|y+δ|+|y|)^2≦δ*(|2y|+δ)^2 ≦δ*(|2y|+1)^2 （δ≦1より） ≦ε （δ≦ε/(2|y|+1)^2より）■ でおそらくできていると思うのですが、f^-1:fの逆関数がＲで連続である ことの証明がうまくいきません。 y=f(x)とおくと、f(x)=x^3から、f^-1(y)=x=y^1/3 (yの３分の１乗)となり、 ∀z∈Rに対して |f^-1(y)-f^-1(z)|=|y^1/3-z^1/3| …(*) (*)から先の変形がうまくいきません。どなたか、わかる方、 お教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学の方程式の質問
数学の問題に関しての質問です。詳しい方にご回答お願いいたします。 私自身しっかり理解して、自分で出来るようになりたいので、なるべく詳しい解説と解答をお願いします。 １．関数u(x,y)に対しU(r,θ)=u(rcosθ,rsinθ)とおく。u(x,y)が{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たすことと、U(r,θ)が{d^2U/dr^2}+{dU/dr}/r + {d^2U/dθ^2}/r^2 =0を満たすことは同値であることを示せ。 ここでr＞0とし(x,y)≠(0,0)とする。 ２．u(x,y)=log{√(x^2+y^2)}は、(x,y)≠(0,0)のとき{d^2u/dx^2}-{d^2u/dy^2}=0をみたすことを示せ。 ３．u(x,y)が√(x^2+y^2)＜1で{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たしているとする。V(x,y)=u{x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2)}は√(x^2+y^2)＞1で{d^2V/dx^2}+{d^2V/dy^2}=0をみたすことを示せ。 ４．x>0,t>0で波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし 境界条件 ∂u(0,t)/∂x=0,t≧0 と初期条件 u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2 =0 0≦x＜1または2＜x ∂u(x,0)/∂t=0,x≧0 をみたす解u(x,t)のu(x,3/2)(x≧0)のグラフを描け。 ５.E(x,t)(t>0)を E(x,t)=exp(-x^2/4t)/2√(πt) で定義する。 f(x)をx∈Rで定義された連続で有界な関数とする。 初期条件 u(x,0)=f(x)(x∈R) …(１) をみたす熱伝導方程式 {∂u(x,t)/∂t}-{∂^2u(x,t)/∂x^2}=0,t＞0,x∈R …(２) を解u(x,t)をE(x,t)を用いて表せ。 m,Mを定数として関数f(x)がR上でm≦f(x)≦Mを満たせば、E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)もt＞0でm≦u(x,t)≦Mとなることを示せ。 次に、関数f(x)がR上でf(-x)=f(x)を満たしているとする。E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)は、t＞0で∂u(0,t)/∂x=0を満たすことを示せ。 (∫exp(-x^2)dx=√πであることは、自由に用いてもよい。(積分区間は－∞から∞)) ６．移流方程式 {∂u(x,t)/∂t}-{∂u(x,t)/∂x}=0 を－∞＜t＜∞、－∞＜x＜∞で考える。初期条件 u(x,0)=sin(x)、－∞＜x＜∞ を満たす解を求めよ。 ７．sをパラメータとして、波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0 の解で、初期条件 u(x,s)=0,－∞＜x＜∞ ∂u/∂t=sin(x+s) ,－∞＜x＜∞ をみたす解u(x,t)を求めよ。その解をU(x,t,s)で表すとして、v(x,t)=∫U(x,t,s)ds(区間は0からt)を計算せよ。 そして、v(x,t)が非斉次の方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=sin(x+t) を満たすことを示せ。 ８.x>0,t>0で波動方程式 {∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし 境界条件 ∂u(0,t)/∂x=0,t≧0 と初期条件 u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2 =0 0≦x＜1または2＜x ∂u(x,0)/∂t=0,x≧0 をみたす解u(x,t)のu(x,3)(x≧0)のグラフを描け。 お願いします！(>人<)
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分を用いた合成関数の証明問題
次のことを証明せよ。 Y(∂Z/∂X)=(1/2)(∂Z/∂Y)のとき、ZはX+Y^2だけの関数である。 という問題で、 u=X+Y^2,v=X,Y=(u/v)^1/2とおき、 Zv=ZxXv+ZyYv =Zx+Zy*(1/2)*(u/v)^(-1/2)*(-u/v^2) =Zx-Zy*(1/2)*(1/Y)*{(X+Y^2)/X^2} と、ここまで解いたのですがこの後がわかりません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何学(4)についての質問、訂正版です。
すみません。どうしても解けません。どれを選べばよいのでしょうか。ご回答よろしくお願いいたします。 トーラスのパラメータ表示 ｘ＝（Ｒ＋r ｃｏｓ ｕ）ｃｏｓ ｖ，ｙ＝（Ｒ＋ｒ ｃｏｓ ｕ），ｚ＝ｒ ｓｉｎ ｕ において、ｘ，ｙ，ｚの満たす方程式として正しいものを選びなさい。 (1)（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）²＋２（Ｒ²＋ｒ²）（ｘ²＋ｙ²）－２（Ｒ²－ｒ²）ｚ²＋（Ｒ²－ｒ²）²＝０ (2)（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）²＋２（Ｒ²－ｒ²）（ｘ²＋ｙ²）＋２（Ｒ²＋ｒ²）ｚ²＋（Ｒ²－ｒ²）²＝０ (3)（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）²－２（Ｒ²－ｒ²）（ｘ²＋ｙ²）＋２（Ｒ²＋ｒ²）ｚ²＋（Ｒ²＋ｒ²）²＝０ (4)（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）²－２（Ｒ²＋ｒ²）（ｘ²＋ｙ²）＋２（Ｒ²－ｒ²）ｚ²＋（Ｒ²－ｒ²）²＝０ (5)（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）²＋２（Ｒ²－ｒ²）（ｘ²＋ｙ²）－２（Ｒ²＋ｒ²）ｚ²＋（Ｒ²＋ｒ²）²＝０ ご教示のほどよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問です
３点A（2.0.0）、B（0.-1.0）、C（0.0.1）から等距離にある点の奇跡をl（エル）とするとき、ｌの方程式はどうなるでしょうか？ また、球面x^2+y^2+z^2=r^2の、x≧0,y≧0.z≧0の部分と図形l（エル）が共有点を持つような正の実数rの条件とは一体なんでしょうか？ 一問目は、３点A,B,Cから等距離にある点をP(x,y,z)とおいて、原点からそれぞれの点へのベクトルの、絶対値の二乗が等しいことを考えて、連立方程式をたてました。 すると、 y=-2x+3/2 y=z という関係式が出たのですが…。 これからどう発展させていけばいいのでしょうか？ どなたかご教授ください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の証明問題です
f(z)がzの解析関数(正則関数)であるとき (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2 を証明する問題なのですが f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおいて、左辺を計算すると、 (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)(u^2+2uvi-v^2) =(∂/∂x)(∂u^2/∂x)+(∂/∂x)(∂2uvi/∂x)-(∂/∂x)(∂v^2/∂x) +(∂/∂y)(∂u^2/∂y)+(∂/∂y)(∂2uvi/∂y)-(∂/∂y)(∂v^2/∂y) =(∂/∂x)(2u(∂u/∂x))+(∂/∂x)(2vi(∂u/∂x))-(∂/∂x)(2v(∂v/∂x)) +(∂/∂y)(2u(∂u/∂y))+(∂/∂y)(2vi(∂u/∂y))-(∂/∂y)(2v(∂v/∂y)) コーシー・リーマンの関係式を用いて、 =2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)+2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)-2(∂v/∂y)(∂u/∂x) =0 となりました。 最後のところで 2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)-2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)+2(∂v/∂y)(∂u/∂x) となれば 4{(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂v/∂x)(∂u/∂y)} =4{(∂u/∂x)^2+(∂v/∂x)^2} =4|f'(z)|^2 となり、証明できるのですが、途中どこが間違っているかが分かりません 長文となりましたが、分かる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
問題が間違っていましたすいません。