複素関数の証明問題

質問

ｆ（ｚ）＝u(x,y)+iv(x,y)　（z=x+yi)が正則関数のとき、
(∂^2/∂x^2)|f(z)|^2+(∂^2/∂ｙ^2)|f(z)|^2=4|ｆ’(z)|^2
が成り立つのを証明せよ
という問題です。
|f''(z)|^2=ux^2+vx^2　（ux=∂u/∂x、ｖｘ=∂ｖ/∂x）
であることと、u,vが調和関数であることを用いて左辺を変形して証明しようと思うのですがどうしても右辺の形に持っていくことができません...
どなたかわかる方ご教授いただけないでしょうか？

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

∂u/∂x=u_x
∂v/∂x=v_x
∂u/∂y=u_y
∂v/∂y=v_y
{(∂/∂x)^2}u=u_xx
{(∂/∂y)^2}u=u_yy
{(∂/∂x)^2}v=v_xx
{(∂/∂y)^2}v=v_yy
とすると
f'(z)=(u_x)+i(v_x)=(v_y)-i(u_y)
u_xx+u_yy=0
v_xx+v_yy=0
だから

{(∂/∂x)^2}|f(z)|^2+{(∂/∂y)^2}|f(z)|^2
={(∂/∂x)^2}(u^2+v^2)+{(∂/∂y)^2}(u^2+v^2)
=2{(∂/∂x)(uu_x+vv_x)+(∂/∂y)(uu_y+vv_y)}
=2{(u_x)^2+uu_xx+(v_x)^2+vv_xx+(u_y)^2+uu_yy+(v_y)^2+vv_yy}
=2{(u_x)^2+(v_x)^2+(u_y)^2+(v_y)^2+u(u_xx+u_yy)+v(v_xx+v_yy)}
=2{|f'(z)|^2+|f'(z)|^2+u*0+v*0}
=4|f'(z)|^2

お礼

詳しく解説をしていただき恐縮です（汗　本当にありがとうございました！

回答No.1

stomachman

左辺に

|f|^2 = (u^2)+(v^2)

を代入して、普通に微分する。それから、

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x

を使ってyによる二階微分を全部取り除く。んで整理すれば、

4((ux)^2+(vx)^2)

になるでしょ。

お礼

なるほど！ありがとうございますm(_ _)m