複素関数の証明問題:解析関数の性質を証明する方法
- この質問は複素関数の証明問題であり、正則関数の性質を証明するものです。
- 要約すると、証明するべき式は(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2です。
- 問題の解説では、複素関数を実部と虚部に分けて計算し、コーシー・リーマンの関係式を用いて証明を進めます。しかし、途中で誤りが生じているようです。
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複素関数の証明問題です
f(z)がzの解析関数(正則関数)であるとき (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2 を証明する問題なのですが f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおいて、左辺を計算すると、 (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)(u^2+2uvi-v^2) =(∂/∂x)(∂u^2/∂x)+(∂/∂x)(∂2uvi/∂x)-(∂/∂x)(∂v^2/∂x) +(∂/∂y)(∂u^2/∂y)+(∂/∂y)(∂2uvi/∂y)-(∂/∂y)(∂v^2/∂y) =(∂/∂x)(2u(∂u/∂x))+(∂/∂x)(2vi(∂u/∂x))-(∂/∂x)(2v(∂v/∂x)) +(∂/∂y)(2u(∂u/∂y))+(∂/∂y)(2vi(∂u/∂y))-(∂/∂y)(2v(∂v/∂y)) コーシー・リーマンの関係式を用いて、 =2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)+2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)-2(∂v/∂y)(∂u/∂x) =0 となりました。 最後のところで 2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)-2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)+2(∂v/∂y)(∂u/∂x) となれば 4{(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂v/∂x)(∂u/∂y)} =4{(∂u/∂x)^2+(∂v/∂x)^2} =4|f'(z)|^2 となり、証明できるのですが、途中どこが間違っているかが分かりません 長文となりましたが、分かる方よろしくお願いします。
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f(z)=u(x,y)+iv(x,y) のとき |f(z)|^2 = u^2+2uvi-v^2 でしたっけ? なんか途中の計算も変. ∂2uvi/∂x もきちんと計算できていなさそう.
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お礼
|f(z)|^2 = u^2+v^2 でしたね… 途中のミスも分かりました。 ありがとうございました。