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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：連続の証明についての質問）

連続の証明についての質問

このQ&Aのポイント
  • f(x)=x^3がＲで連続であることの証明について疑問があります。
  • また、f^-1:fの逆関数がＲで連続であることの証明がうまくいきません。
  • 具体的には、(*)から先の変形がうまくいきません。どなたか、わかる方、お教えください。
  • tyuji
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こんばんは。＃３です。 ＞1つだけ質問です。|z-y|<δ ⇒|…
＃２です。ちょっと間違っているところがあります。 ＞この|z-y…
こんばんは。 (y^{1/3}-z^{1/3})(y^{2/3}…
0 の近傍は別に考えなきゃならないけど有理化してみる?

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回答No.4

こんばんは。＃３です。 ＞1つだけ質問です。|z-y|<δ ⇒|z-y|<εはδ=εとおいたということ でしょうか？ はい、そうです。 ＞(y,z)=(0,0)でないときδ=Kεとおくと、 ＞|y^{1/3}-z^{1/3}| ＝|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| ≦|y-z|/K < δ/K=ε 厳密的なことですが、ここでKはεに依存します。任意のｚと任意のε>0に対してKが決まるのです。正確には、ε<kとしてkを選ぶべきですね。したがって、δ=kεとするのは間違っています。ですから、最後の行は ≦|y-z|/K < ε/K とすべきです。Kがあって、すっきりしないように感じるかもしれませんが、この示し方でも間違ってはいません。 ※大変申し訳ありませんが今日はもう休みますので、これ以上の質問は明日返答いたします。

tyuji
質問者

お礼

ありがとうございました。これで全て理解できました。グラフや （２）全単射の連続写像は、その逆写像も連続である。を利用す れば、明らかとも言えるような質問内容にも関わらず、丁寧に回答 して頂き、助かりました。

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その他の回答 (3)

回答No.3

＃２です。ちょっと間違っているところがあります。 ＞この|z-y|<εを満たすyに対して、K=min{y^{1/3},y^{2/3},z^{1/3},z^{2/3}}とすると、 ＞y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}≧4k kが負の数となってしまう場合もあるので |z-y|<εを満たすyに対して |y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}|≧K>0 を満たすKを選べばよいですね。

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回答No.2

こんばんは。 (y^{1/3}-z^{1/3})(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})=y-z を利用します。この式から y^{1/3}-z^{1/3}=(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}) いま、任意のz∈Rと任意のε>0に対して、適当なδ>0が存在して |z-y|<δ ⇒|z-y|<ε　 が成り立つ。 この|z-y|<εを満たすyに対して、K=min{y^{1/3},y^{2/3},z^{1/3},z^{2/3}}とすると、 y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}≧4k であるから、 |y^{1/3}-z^{1/3}| ＝|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| 　　　　　　　　　　≦1/{4k}・|y-z| 　　　　　　　　　　≦1/{4k}・ε εは任意であるから、y^{1/3}はＲで連続である。 といった方針でよろしいんじゃないでしょうか？ ※普通は、こういった問題は （１）lim_{y→α}y^{1/3}=α^{1/3}　を示す。 もしくは位相空間論の （２）全単射の連続写像は、その逆写像も連続である。 ということから、y^{1/3}の連続性を示します。

tyuji
質問者

補足

1つだけ質問です。|z-y|<δ ⇒|z-y|<εはδ=εとおいたということ でしょうか？ まとめると、下のような感じでしょうか？ 　 |z-y|<δを満たすyに対して |y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3}|≧K>0 を満たすKを選ぶ。(y,z)=(0,0)のとき、|y^{1/3}-z^{1/3}|=0<ε (y,z)=(0,0)でないときδ=Kεとおくと、 |y^{1/3}-z^{1/3}| ＝|(y-z)/(y^{2/3}+y^{1/3}z^{1/3}+z^{2/3})| ≦|y-z|/K < δ/K=ε

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

0 の近傍は別に考えなきゃならないけど有理化してみる?

tyuji
質問者

補足

(*)=|y-z| / |y^2/3+y^1/3*z^1/3+z^2/3| (y,z)=(0,0)は除く ということでしょうか？

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