ロピタルの定理を使う定積分

質問

∫1から∞ {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx を解こうと思ったのですが、

最初の(1/(1+x))をロピタルの定理を使い定積分すると、不定形になってしまい解けません。

この問題は最初にどのような式変形をして解いていけばいいのでしょうか？
教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>最初の(1/(1+x))をロピタルの定理を使い定積分すると、不定形になってしまい解けません。
発散するものはロピタルを使っても解けませんよ。

最初の項だけ分離して積分しようとするから、できる積分も出来なくなります。
(1/(1+x))-log(1+1/x)
=(x/(1+x)-(x/x)-log{(1+x)/x}
=-x*[log{(1+x)/x}]'-(x)'*log{(1+x)/x}
=-(xlog{(1+x)/x)})'
なので
∫ {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx=-xlog{(1+x)/x)}+C
∫[0→∞] {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx
=lim[x→0]xlog{(1+x)/x)}-lim[x→∞] xlog{(1+x)/x)}
ここでロピタルの定理を使うと
=0-1=-1
となります。

やってみてください。
分からなければ、やった途中計算を書いた上で、
行き詰って分からない箇所を質問して下さい。

お礼

とけました。
ありがとうございます。＾＾

回答No.1

R_Earl

> 最初の(1/(1+x))をロピタルの定理を使い定積分すると、不定形になってしまい解けません。

1/(1 + x)の不定積分はlog(1 + x)なので、
ロピタルの定理無しでも定積分を考えることができるはずです。
どういう風にしてロピタルの定理を利用したのでしょうか？

∫1/(1 + x)dx = log(1 + x) + Cですが、
この不定積分を利用した場合、1/(1 + x)の底積分値は無限大に発散します。
つまり1/(1 + x)の定積分のみを考えても駄目ということになります。

1/(1 + x)の部分のみを考えても駄目なら、
(1/(1+x))-log(1+1/x)全体の定積分を考えます。
まず(1/(1+x))-log(1+1/x)の不定積分を計算して、
その後定積分を考えてください。

お礼

ご指導ありがとうございます。＾＾