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高校数学における三角関数の問題
△ＡＢＣにおいてＡＢ＝３、ＢＣ＝２であり、∠Ｃ＝２∠Ｂをみたすものとする。このとき、ＡＣの長さを求めよ。 この問題を余弦定理で解いたところ答えが２と√１０ー１の二つでてしまいました。正解は後者の方なんですが、なぜ２でないのかよく分かりません、教えてください。
- ricefield-
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- info22
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余弦定理だけ使って解いてみると ∠Bについて余弦定理を適用 (9+4-x^2)/12=cos(B) …(1) ∠C（=2∠B)について余弦定理を適用 (x^2+4-9)/(4*x)=cos(2B)=2*(cos(B))^2-1 …(2) ここでxが三角形の一辺である為の条件 3-2<x<3+2 → 1<x<5 …(3) (1)のcos(B)を(2)に代入して式を整理すると x^5-26x^3-18x^2+97x+90=0 …(▼) (x-5)(x+1)(x+2)(x^2+2*x-9)=0 (3)の条件から (x-5)(x+1)(x+2)≠0…(●)なので x^2+2*x-9=0 x>0 …(◆)なので x=-1+√10 …(◎) > 答えが２と√１０ー１の二つでてしまいました。 > 正解は後者の方なんですが、なぜ２でないのかよく分かりません 答えの2は(▼)に含まれていません。 (▼)を解く過程で(▼)の解の内、条件に適さない解として (●)でx=5,x=-1,x=-2が除外され、（◆)で -1-√10が除外されて 残った （◎）の「√10 -1」だけが (3)の条件を満たしていて 解となります。 計算過程が書いてないので 2 がなぜ出てきたのかチェックできません。 補足に計算過程を上述の回答にならって書いてみて下さい。 チェックして見ましょう。
お礼
確かに間違ってます。チェックしていただきありがとうございましたm(_ _)m
- sono0315
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ちなみに比の式は x:3=z:x →3z=x^2 x:3=y:2 →3y=2x z:x=y:2 →xy=2z あと2倍の方の角を2等分したので下側は二等辺三角形なので 3-z=y この4つを連立させると簡単にxが出せます
- mister_moonlight
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∠Ｃ＝2θ、∠Ｂ＝θ、ＡＣ＝xとすると、∠Ａ＝π-3θであるから、正弦定理より、x/sinθ＝3/sin2θ＝2/sin（π-3θ）＝2/sin3θ。 つまり、3＝2xcosθ ‥‥(1) 又、2sinθ＝xsin3θであるから、2＝x（4cos＾2θ-1）‥‥(2) (1)を(2)に代入して、x＾2＋2x-9＝0であるが、x＞0より、x＝√10-1. 但し、三角形の成立条件から、1＜x＜5 であるが、これも満たす。
お礼
ありがとうございました。
補足
なるほど正弦定理を使うと理解することができました。でもなんで余弦定理だと駄目なんでしょうか？
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お礼
先ほどはすいません、ちょっと慌ててしまって。 こんな方法もあるんですね。ありがとうございました。