運動量演算子とエルミート演算子

質問

証明の仕方が全くわからないため質問させていただきます。

運動量演算子が-ihバー∂/∂xであるとき、-ihバー∂/∂xがエルミート演算子であることを示せ。

上述の問題を解いていただけたら幸いです。
できれば詳しく論述もお願いします。

回答No.2

cyototu · ベストアンサー

A =-i∂/∂x として、

<f|A†|g>=<g|A|f>*＝<f|A|g>

となることことを証明すれば良い訳です。ただし、hバーは定数なので省きました。それ故、f(x)とg(x)はヒルベルト空間に属する任意の関数として、

(1) <f|A|g>= ∫dx f*(x)(-i∂/∂x)g(x)

一方、

(2) <g|A|f>*= [ ∫dx g*(x)(-i∂/∂x)f(x) ]*

ですから、（２）を変形して、それが（１）に等しいことが言えれば証明終わりです。この証明は部分積分をすれば出来ます。ただしその時、f(x)とg(x)がヒルベルト空間の要素であるという条件から、積分の境界でそれらがゼロになるという事実を使います。

以上。

お礼

どうもありがとうございます。
おかげさまでテストで類似問題を解くことができました。

回答No.1

cyototu

もし貴方が、エルミート演算子の定義をこの欄に書いて下さったら、それを証明して差し上げます。

補足

<f|A†|g>=<g|A|f>*のとき，A†=AとなったときＡをエルミート演算子と定義する。
実数の固有値を持つことを利用したらいいのかとは考えたのですが、教科書に解答がなくやり方がわからないのが現状です。
ご教授よろしくお願いします。