量子力学の演算子に関する問題です。

質問

問題は[x^y^ , px^py^]です。
ここで x^とy^ は位置の演算子で
px^とpy^は運動量の演算子です。

演算子の定義 px^=(h/i)(δ/δx)
に従って解いたところ、
解は h^2　となりました。
（"エイチバー"をhと書いています）

しかし、演算子の交換法則　[x^,px^]=ih
より x^px^=px^x^＋ih　を用いて解いたところ
解が ih(px^x^+y^py^となってしまいました。

実際の解はどうなるでしょうか？

記号の都合上分かりにくい質問になってしまいましたが、
回答よろしくお願いします。

回答No.3

bensharman · ベストアンサー

[x^y^,px^py^]の交換関係を計算するとh^2+ih(x^px^+y^py^)となります。

計算する方法を二つ挙げます。

一つ目が正準交換関係
[x^,px^]=ih,[y^,py^]=ih,[x^,y^]=0,[px^,py^]=0
と交換関係に関する次の公式（簡単に確かめることができます）
[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
を用いて計算する方法です。

もう一つが演算子を座標表示して
ｘ＾＝ｘ、ｙ＾＝ｙ
px^=(h/i)(∂/∂x)、 pｙ^=(h/i)(∂/∂ｙ)
として交換関係を計算する方法です。
このとき注意しなくてはいけないことは
px^x^=(h/i)(∂/∂x)x
=(h/i)+x(h/i)(∂/∂x)
となることです。
同様に
px^py^x^y^=(h/i)(∂/∂x)(h/i)(∂/∂y)xy
=-h^2(∂/∂x)x-h^2(∂/∂x)xy(∂/∂y)
=-h^2-h^2x(∂/∂x)-h^2y(∂/∂y)-h^2xy(∂/∂x)(∂/∂y)
となります。

質問内容にある交換関係を用いた計算は正しいと思います。

ただ座標表示の演算子を用いて計算した方は
(h/i)(∂/∂x)(h/i)(∂/∂y)xy=-h^2-h^2xy(∂/∂x)(∂/∂y)
としてしまったために交換関係がh^2であるという誤った
答えが出てしまったのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
間違った点も示して頂いて分かりやすかったです。

回答No.2

rnakamra

最初の式から計算してみましょう。波動関数をψとすると
[x^y^,px^,py^]ψ={(xy((h/i)^2)∂^2/∂x∂y)-((h/i)^2)(∂^2/∂x∂y)xy}ψ
=-(h^2)xy∂^2ψ/∂x∂y+(h^2)(∂^2/∂x∂y)(xyψ)
=-(h^2)xy∂^2ψ/∂x∂y+(h^2)(∂/∂y)(yψ+xy∂ψ/∂x)
=-(h^2)xy∂^2ψ/∂x∂y+(h^2)(ψ+y∂ψ/∂y+x∂ψ/∂x+xy∂^2ψ/∂x∂y)
=(h^2)(1+x∂/∂x+y∂/∂y)ψ
={h^2+(ih)x(h/i)∂/∂x+(ih)y(h/i)∂/∂y}ψ
={h^2+(ih)x^px^+(ih)y^py^}ψ
となります。これは2番目の方法で得られた式と等しくなることが示せます。
途中の計算が間違っているため計算結果がおかしくなったのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
細かい計算まで丁寧に回答して頂き
ありがたいです。

回答No.1

eatern27

後者の方が正しいですね。

お礼

回答ありがとうございます。
どうやらそのようです！